Un modello per le conchiglie - Matematicamente.it
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<strong>Un</strong> <strong>modello</strong> <strong>per</strong> <strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong><br />
di Giovanni Lucca<br />
Anno 1 Numero 1<br />
_____________________<br />
INTRODUZIONE<br />
Questo articolo illustra un <strong>modello</strong> matematico a 4 parametri <strong>per</strong> la descrizione di su<strong>per</strong>fici tridimensionali<br />
che modellizzano la forma del<strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong> spiraliformi. Vengono inoltre presentati alcuni esempi<br />
generati mediante <strong>per</strong>sonal computer con l’intento di mostrare l’influenza dei singoli parametri<br />
sulla forma assunta dalla su<strong>per</strong>ficie.<br />
CRESCITA, AUTOSIMILARITÀ E SPIRALI<br />
Osservando la maggior parte del<strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong> e, soffermandosi sugli aspetti puramente geometrici, tre<br />
sono <strong>le</strong> caratteristiche fondamentali sui quali poter basare un <strong>modello</strong> che possa rappresentarne gli e<strong>le</strong>menti<br />
essenziali:<br />
• la presenza di un’origine dalla qua<strong>le</strong> la conchiglia nasce e si accresce nel tempo;<br />
• la presenza, più o meno evidente, di una spira<strong>le</strong> con centro nell’origine sopra menzionata e <strong>le</strong> cui<br />
spire si avvolgono attorno a un asse passante <strong>per</strong> l’origine stessa;<br />
• <strong>le</strong> proprietà gnomoniche di cui la conchiglia gode.<br />
In particolare, in geometria, <strong>per</strong> gnomone si intende una figura geometrica G che, aggiunta ad<br />
un’altra A, viene a formare una nuova figura B geometricamente simi<strong>le</strong> ad A (si veda fig.1 <strong>per</strong> un semplice<br />
esempio).<br />
Fig.1. Esempio di figure gnomoniche; il trapezio G è lo gnomone<br />
del triangolo A che, un<strong>it</strong>o ad esso, forma un nuovo triangolo<br />
B simi<strong>le</strong> ad A.<br />
Questi tre punti sintetizzano l’aspetto peculiare della cresc<strong>it</strong>a<br />
del<strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong> ben espressa da Sir D’Arcy Wentworth<br />
___________________________________________________________________________________<br />
A<br />
G<br />
B<br />
11
Anno 1 Numero 1<br />
Thomson in [1] con la seguente frase: “… è caratteristica peculiare del<strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong> a spira<strong>le</strong>, <strong>per</strong> esempio,<br />
che esse non alterino la loro forma mentre crescono. Ogni incremento è simi<strong>le</strong> al precedente e<br />
ogni ciclo di accrescimento rimane della forma prim<strong>it</strong>iva. … Ma la conchiglia mantiene immutata la<br />
sua forma malgrado il suo accrescimento asimmetrico; essa cresce cioè solo a una estrem<strong>it</strong>à… Questa<br />
notevo<strong>le</strong> proprietà di accrescimento termina<strong>le</strong> è caratteristica, tra <strong>le</strong> varie curve matematiche, solo<br />
nella spira<strong>le</strong> equiangolare.''<br />
In altre paro<strong>le</strong>, la conchiglia, come il mollusco all’interno di essa, cresce in grandezza, ma non<br />
cambia di forma, e la sua cresc<strong>it</strong>a procede nello spazio <strong>per</strong> gnomoni successivi dell’intera struttura preesistente,<br />
lungo una spira<strong>le</strong> equiangolare manifestando così una continua caratteristica di autosimilar<strong>it</strong>à.<br />
E <strong>per</strong> meglio comprendere questo concetto si può guardare la fig.2 dove viene mostrata la cresc<strong>it</strong>a <strong>per</strong><br />
gnomoni successivi, lungo archi di spira<strong>le</strong> equiangolare che si sviluppano rispetto all’origine O, di un<br />
immaginario mollusco bidimensiona<strong>le</strong>.<br />
L I<br />
H F<br />
M<br />
G<br />
E<br />
O<br />
C<br />
A B<br />
D<br />
Fig.2. Cresc<strong>it</strong>a <strong>per</strong> gnomoni successivi di una conchiglia<br />
bidimensiona<strong>le</strong>.<br />
Quindi, ad esempio, se la conchiglia ad un certo istante t è rappresentata dal quadrilatero ABDC, la<br />
sua cresc<strong>it</strong>a, in un intervallo ∆t è data dallo gnomone CDFE che, un<strong>it</strong>o ad ABDC, forma il quadrilatero<br />
ABFE, ovvero l’immagine della conchiglia all’istante t+∆t; notiamo anche la simil<strong>it</strong>udine geometrica<br />
dei due quadrilateri ABDC e ABFE; <strong>le</strong> stesse osservazioni valgono se consideriamo il quadrilatero A-<br />
BFE con lo gnomone EFHG e così via.<br />
L’estensione al caso rea<strong>le</strong>, cioè quello tridimensiona<strong>le</strong>, è analoga; la principa<strong>le</strong> differenza è che il<br />
punto O va sost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>o da una retta che rappresenta l’asse di simmetria della conchiglia ed i quadrilateri<br />
vanno sost<strong>it</strong>u<strong>it</strong>i con dei “tubi incurvati” disposti secondo archi di spira<strong>le</strong> equiangolare tridimensiona<strong>le</strong>.<br />
In conclusione, possiamo quindi affermare che <strong>le</strong> proprietà di autosimilar<strong>it</strong>à della conchiglia sono la<br />
diretta conseguenza del<strong>le</strong> medesime proprietà che ha la spira<strong>le</strong> equiangolare e che descriveremo nel<br />
prossimo paragrafo.<br />
Vi è tuttavia un’altra importante osservazione da fare circa il ruolo della spira<strong>le</strong> equiangolare; infatti,<br />
con la sua forma specifica, caratterizzata da alcuni parametri che vedremo in segu<strong>it</strong>o, influenza direttamente<br />
e in maniera significativa anche la forma della conchiglia stessa. In altre paro<strong>le</strong>, essa può essere<br />
vista come una curva struttura<strong>le</strong> o portante, nello spazio, che la conchiglia deve seguire nel corso<br />
___________________________________________________________________________________<br />
12
Anno 1 Numero 1<br />
della sua cresc<strong>it</strong>a; <strong>per</strong>tanto alcuni dei parametri che descrivono la forma della conchiglia sono i medesimi<br />
parametri che descrivono la corrispondente spira<strong>le</strong>.<br />
CENNI SULLA SPIRALE EQUIANGOLARE<br />
Come abbiamo visto, la spira<strong>le</strong> equiangolare è di fondamenta<strong>le</strong> importanza <strong>per</strong> una modellizzazione<br />
matematica della cresc<strong>it</strong>a e della geometria del<strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong>. R<strong>it</strong>eniamo quindi uti<strong>le</strong> dedicare questo paragrafo<br />
alla descrizione del<strong>le</strong> principali caratteristiche di ta<strong>le</strong> curva necessarie <strong>per</strong> il prosieguo. Tratteremo<br />
prima della spira<strong>le</strong> equiangolare piana e, successivamente, di quella nello spazio.<br />
Spira<strong>le</strong> equiangolare nel piano<br />
<strong>Un</strong>a generica spira<strong>le</strong> nel piano può essere generata facendo contemporaneamente ruotare e dilatare un<br />
segmento OP attorno a un estremo fisso O, che è detto polo; in tal modo, l’altro estremo P descrive, nel<br />
corso del suo movimento, la spira<strong>le</strong>. Ora, a seconda del<strong>le</strong> <strong>le</strong>ggi che descrivono nel tempo la rotazione e<br />
la dilatazione del segmento OP, abbiamo differenti tipi di spira<strong>le</strong>. La spira<strong>le</strong> equiangolare (detta anche<br />
logar<strong>it</strong>mica) è quindi un particolare tipo di spira<strong>le</strong> ed è caratterizzata da:<br />
• una posizione inizia<strong>le</strong> e un valore inizia<strong>le</strong> del segmento OP nel piano: nel segu<strong>it</strong>o assumeremo <strong>per</strong><br />
convenzione che il segmento OP giaccia inizialmente sull’asse del<strong>le</strong> x di un sistema cartesiano ortogona<strong>le</strong><br />
nel piano e con origine O coincidente col polo della spira<strong>le</strong>. Inoltre il valore inizia<strong>le</strong> di OP<br />
sia D;<br />
• una veloc<strong>it</strong>à angolare di rotazione costante nel tempo; quindi l’angolo θ tracciato dal segmento OP<br />
durante la sua rotazione cresce linearmente nel tempo (si assume come pos<strong>it</strong>iva una rotazione in<br />
senso antiorario misurata a partire dal semiasse pos<strong>it</strong>ivo del<strong>le</strong> ascisse);<br />
• una <strong>le</strong>gge di dilatazione del segmento OP esponenzia<strong>le</strong> rispetto all’angolo θ.<br />
Da un punto di vista matematico, l’o<strong>per</strong>azione sopra descr<strong>it</strong>ta può essere effettuata mediante una<br />
trasformazione di rotazione ed omotetia [2] su un vettore r del piano di componenti rx=D e ry=0; il vettore<br />
risultante di questa trasformazione esprime la spira<strong>le</strong> equiangolare in forma parametrica rispetto al<br />
parametro θ. In pratica si ha:<br />
( )<br />
( )<br />
kθ<br />
⎡xθ⎤ ⎡e0⎤⎡cosθ −sin<br />
θ⎤⎡D⎤<br />
⎢ ⎥ = ⎢ θ θin, θ<br />
kθ<br />
⎥⎢ ∈⎡⎤<br />
fin<br />
y θ 0 e sinθ cosθ ⎥⎢<br />
0<br />
⎥ ⎣ ⎦<br />
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣<br />
⎦⎣ ⎦<br />
Nella (1) k è una costante, strettamente <strong>le</strong>gata al<strong>le</strong> caratteristiche di cresc<strong>it</strong>a della spira<strong>le</strong> mentre<br />
l’intervallo [θin , θfin] definisce i valori iniziali e finali del parametro θ; il fatto di fornire la restrizione<br />
θ∈[θin , θfin], è <strong>le</strong>gata alla esigenza di rappresentare la curva su un intervallo fin<strong>it</strong>o. Ciò è chiaramente<br />
in relazione al fatto che ogni conchiglia ha dimensioni fin<strong>it</strong>e. D’ora in poi, <strong>per</strong> ragioni di brev<strong>it</strong>à,<br />
ometteremo l’indicazione θ∈[θin , θfin] restando <strong>per</strong>ò inteso che ta<strong>le</strong> ipotesi rimane comunque valida.<br />
___________________________________________________________________________________<br />
(1)<br />
13
α<br />
α<br />
α<br />
Fig.3. Esempio di spira<strong>le</strong> equiangolare.<br />
Anno 1 Numero 1<br />
Sempre nella (1), la prima matrice, partendo da<br />
sinistra, rappresenta la trasformazione di omotetia (dilatazione se k>0, contrazione se k
Anno 1 Numero 1<br />
da vari avvolgimenti, hanno l’angolo α compreso all’incirca tra 80 0 e 90 0 con valori di W nell’ordine di<br />
qualche un<strong>it</strong>à; questo appunto consente una cresc<strong>it</strong>a della conchiglia con parecchie spire.<br />
Spira<strong>le</strong> equiangolare nello spazio<br />
La natura<strong>le</strong> estensione nello spazio tridimensiona<strong>le</strong> della spira<strong>le</strong> equiangolare piana, detta comunemente<br />
elico-spira<strong>le</strong>, (fig. 4) è defin<strong>it</strong>a in maniera analoga alla (1) mediante una trasformazione di rotazione,<br />
attorno all’asse z, e di omotetia su un vettore r0 dello spazio.<br />
(x, y, z)<br />
r<br />
z<br />
O<br />
r0<br />
y<br />
(x0, 0, z0)<br />
x<br />
Fig. 4. Esempio di elico-spira<strong>le</strong>.<br />
Il vettore risultante di questa trasformazione esprime la elico-spira<strong>le</strong> in forma parametrica rispetto<br />
al parametro θ che rappresenta l’angolo di rotazione attorno all’asse z. (θ>0 <strong>per</strong> rotazioni antiorarie con<br />
θ misurato a partire dal semiasse pos<strong>it</strong>ivo del<strong>le</strong> ascisse); come nel caso della spira<strong>le</strong> nel piano assumiamo<br />
che l’angolo θ∈[θin , θfin]. Scegliendo <strong>per</strong> comod<strong>it</strong>à r0x=D, r0y=0 e r0z=z0 (ove z0
⎧x<br />
⎪<br />
⎨ y<br />
⎪z<br />
⎩<br />
( θ)<br />
( θ)<br />
( θ)<br />
=<br />
D cos<br />
= D sin θ e<br />
θ cot<br />
=<br />
( α<br />
z e<br />
)<br />
0<br />
Anno 1 Numero 1<br />
___________________________________________________________________________________<br />
θ e<br />
θ cot<br />
θ cot<br />
Vediamo dalla (6) che tre sono i parametri che caratterizzano la elico-spira<strong>le</strong>:<br />
• l’angolo α di cui abbiamo già detto;<br />
• la coordinata D che rappresenta la distanza del punto inizia<strong>le</strong> della curva dall’asse z (ovvero la<br />
distanza latera<strong>le</strong> da ta<strong>le</strong> asse);<br />
• la coordinata z0 del punto inizia<strong>le</strong>.<br />
Se i parametri α e D sono gli stessi della spira<strong>le</strong> equiangolare piana (infatti la spira<strong>le</strong> piana può essere<br />
vista come la proiezione della elico spira<strong>le</strong> sul piano xy), il parametro z0 è una peculiar<strong>it</strong>à della elico<br />
spira<strong>le</strong> ed è in relazione all’avanzamento della curva lungo l’asse vertica<strong>le</strong> attorno al qua<strong>le</strong> si avvolgono<br />
<strong>le</strong> spire. A tal propos<strong>it</strong>o, ricordando la (6) osserviamo che in ogni punto della elico-spira<strong>le</strong> va<strong>le</strong> la<br />
relazione:<br />
z<br />
0<br />
D<br />
( α)<br />
( α)<br />
( )<br />
( ) ( ) T<br />
z θ<br />
= =<br />
(7)<br />
2 2<br />
x θ + y θ<br />
ovvero il rapporto tra la componente vertica<strong>le</strong> (in modulo) e quella orizzonta<strong>le</strong> è sempre pari ad una costante<br />
che chiamiamo T. Ora con l’ausilio della fig.5 possiamo dare un significato geometrico al parametro<br />
T; infatti si vede immediatamente che va<strong>le</strong> la relazione:<br />
dove l’angolo β è rappresentato in fig.5.<br />
Fig.5. Angolo β che caratterizza la elico-spira<strong>le</strong>.<br />
( β )<br />
T = cot<br />
(8)<br />
z<br />
D<br />
La formula (7) implica anche che ogni punto della elico-spira<strong>le</strong> appartiene alla su<strong>per</strong>ficie latera<strong>le</strong> di<br />
un cono con asse coincidente con quello della elico-spira<strong>le</strong> e semiangolo di a<strong>per</strong>tura ugua<strong>le</strong> a β.<br />
|z0|<br />
β<br />
x<br />
A<br />
(6)<br />
16
Anno 1 Numero 1<br />
In genera<strong>le</strong>, possiamo dire che, a par<strong>it</strong>à di α e D e dell’intervallo [θin, θfin], <strong>per</strong> valori piccoli<br />
dell’angolo β la curva tende ad essere allungata; mentre, <strong>per</strong> valori di β prossimi a 90 0 , la curva presenta<br />
un aspetto più tozzo ed allargato. In particolare, <strong>per</strong> β=90 0 si ha T = 0 e la elico-spira<strong>le</strong> diviene una<br />
spira<strong>le</strong> piana.<br />
EQUAZIONI DELLA SUPERFICIE<br />
Il meccanismo di generazione della su<strong>per</strong>ficie che rappresenta la conchiglia è ben descr<strong>it</strong>to, sempre in<br />
[1], da D'Arcy Thompson con <strong>le</strong> seguenti paro<strong>le</strong>:<br />
“La su<strong>per</strong>ficie di qualsiasi conchiglia, sia essa discoide o turbinata, può essere immaginata come<br />
generata dalla rivoluzione, attorno a un asse fisso, di una curva chiusa la qua<strong>le</strong>, rimanendo sempre<br />
geometricamente simi<strong>le</strong> a se stessa, vada continuamente aumentando di dimensione; poiché la scala<br />
della figura aumenta in progressione geometrica mentre l'angolo di rotazione aumenta in progressione<br />
ar<strong>it</strong>metica e il centro di simil<strong>it</strong>udine rimane fisso, la curva tracciata nello spazio da punti corrispondenti<br />
della curva generatrice è in ogni caso una spira<strong>le</strong> equiangolare. […] Può essere considerata come<br />
figura generatrice qualsiasi sezione della conchiglia, sia essa paral<strong>le</strong>la, norma<strong>le</strong> o comunque inclinata<br />
rispetto all'asse. Comunemente essa è r<strong>it</strong>enuta identica alla bocca della conchiglia; in tal caso essa<br />
è una curva pressappoco piana e di forma semplice ma in numerosi altri casi è complicata di forma<br />
e i suoi confini non giacciono su un piano. Ma in tali casi possiamo sost<strong>it</strong>uirla con la sua sezione, tagliando<br />
la conchiglia elicoide attraverso il suo asse”.<br />
La curva generatrice può essere chiusa oppure a<strong>per</strong>ta, e può assumere differenti forme, ma molto<br />
comunemente ha una forma più o meno ell<strong>it</strong>tica; si può sub<strong>it</strong>o arguire, quindi, che la forma della curva<br />
generatrice riveste una notevo<strong>le</strong> importanza e determina in maniera consistente la forma e l'aspetto genera<strong>le</strong><br />
della conchiglia.<br />
Nella fig.6 sono rappresentati gli aspetti geometrici essenziali <strong>per</strong> comprendere il meccanismo di<br />
generazione della su<strong>per</strong>ficie della conchiglia.<br />
Fig.6. E<strong>le</strong>menti geometrici fondamentali <strong>per</strong> la<br />
generazione della su<strong>per</strong>ficie della conchiglia; la<br />
freccia grande indica la rotazione della curva generatrice<br />
attorno all'asse z.<br />
In essa possiamo notare il centro di simil<strong>it</strong>udine O, la curva generatrice (tratteggiata) ed una curva<br />
portante, la elico-spira<strong>le</strong>, che nasce dal centro della curva generatrice O'. Ai punti O e O' sono associate<br />
___________________________________________________________________________________<br />
z<br />
O<br />
z'<br />
O'<br />
y'<br />
y<br />
x'<br />
x<br />
17
Anno 1 Numero 1<br />
due terne cartesiane destrorse, una fissa (quella con origine in O) ed una mobi<strong>le</strong> (quella con origine in<br />
O'), solida<strong>le</strong> con la curva generatrice che dobbiamo immaginare muoversi lungo la elico-spira<strong>le</strong> ed al<br />
contempo espandersi in modo da generare una sorta di tubo di dimensioni crescenti che si avvolge attorno<br />
all'asse z. Come già osservato precedentemente, a propos<strong>it</strong>o della elico-spira<strong>le</strong>, <strong>le</strong> o<strong>per</strong>azioni matematiche<br />
che ci <strong>per</strong>mettono di tradurre quanto descr<strong>it</strong>to a paro<strong>le</strong> nella c<strong>it</strong>azione tratta dal libro di<br />
D'Arcy Thompson sono una rotazione attorno all'asse del<strong>le</strong> z (posizionato lungo la direzione di cresc<strong>it</strong>a<br />
della conchiglia) assieme ad una cresc<strong>it</strong>a (omotetia) che proceda con una opportuna progressione geometrica<br />
ta<strong>le</strong> da rispettare il principio di autosimil<strong>it</strong>udine.<br />
Descrivendo la curva generatrice in forma parametrica in funzione di un opportuno parametro s, si<br />
ha che essa può venire espressa mediante il seguente vettore:<br />
⎡x<br />
⎢<br />
⎢<br />
y<br />
⎢⎣<br />
z<br />
( s)<br />
() s<br />
() s<br />
___________________________________________________________________________________<br />
( s)<br />
() s<br />
()⎥ ⎥⎥<br />
⎤ ⎡ f ⎤<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
=<br />
⎢<br />
g<br />
⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
h s ⎦<br />
essendo f, g e h tre funzioni note del parametro s che caratterizzano la forma della curva<br />
generatrice.<br />
L’o<strong>per</strong>azione di omotetia è nel nostro caso esprimibi<strong>le</strong> mediante la seguente matrice O(θ) già<br />
utilizzata <strong>per</strong> definire la elico-spira<strong>le</strong> (vedi formula (5)):<br />
⎡ θ cot α<br />
e 0 0 ⎤<br />
⎢<br />
θ cot α ⎥<br />
O = ⎢ 0 e 0 ⎥<br />
(10)<br />
⎢<br />
θ cot α<br />
0 0 e ⎥<br />
⎣<br />
⎦<br />
[ ( θ)<br />
]<br />
mentre l’o<strong>per</strong>azione di rotazione attorno all’asse z è esprimibi<strong>le</strong> mediante la matrice R(θ) data da:<br />
⎡ cos θ V sin θ 0⎤<br />
R =<br />
⎢<br />
⎥<br />
⎢<br />
− V sin θ cos θ 0<br />
⎥<br />
(11)<br />
⎢⎣<br />
0 0 1⎥⎦<br />
[ ( θ)<br />
]<br />
Nel<strong>le</strong> (9) e (11) θ rappresenta l’angolo di rotazione attorno all'asse del<strong>le</strong> z misurato a partire dal semiasse<br />
pos<strong>it</strong>ivo del<strong>le</strong> x e considerato pos<strong>it</strong>ivo se in senso antiorario, mentre V è un parametro che definisce<br />
il senso di avvolgimento della su<strong>per</strong>ficie attorno all'asse del<strong>le</strong> z (V=1 in senso orario (destrogiro)<br />
V=-1 in senso antiorario (<strong>le</strong>vogiro)).<br />
Fatte queste premesse, la relazione genera<strong>le</strong> che fornisce <strong>le</strong> equazioni in forma parametrica della<br />
su<strong>per</strong>ficie della conchiglia è:<br />
da cui:<br />
⎡X<br />
⎢<br />
⎢<br />
Y<br />
⎢⎣<br />
Z<br />
( s,<br />
θ)<br />
( s,<br />
θ)<br />
( s,<br />
θ)<br />
⎤ ⎡e<br />
⎥ ⎢<br />
⎥<br />
= ⎢<br />
⎥ ⎢<br />
⎦ ⎣<br />
θ cot α<br />
0<br />
0<br />
e<br />
0<br />
θ cot α<br />
0<br />
e<br />
0<br />
0<br />
θ cot α<br />
⎤⎡<br />
cos θ<br />
⎥⎢<br />
⎥⎢<br />
− V sin θ<br />
⎥⎢⎣<br />
0<br />
⎦<br />
V sin<br />
cos θ<br />
0<br />
θ<br />
0⎤⎡f<br />
0<br />
⎥⎢<br />
⎥⎢<br />
g<br />
1⎥⎦<br />
⎢⎣<br />
h<br />
( s)<br />
() s<br />
() s<br />
⎤<br />
⎥<br />
⎥<br />
⎥⎦<br />
s ∈<br />
[ s min , s max ] θ∈<br />
[ θmin<br />
, θmax<br />
(9)<br />
] (12)<br />
18
⎧ X<br />
⎪<br />
⎨ Y<br />
⎪Z<br />
⎩<br />
θ cot α<br />
( s,<br />
θ)<br />
= e ( cos θf<br />
( s)<br />
+ V sin θg(<br />
s)<br />
)<br />
θ cot α<br />
( s,<br />
θ)<br />
= e ( − V sin θf<br />
() s + cos θg()<br />
s )<br />
θ cot α<br />
( s,<br />
θ)<br />
= e h(<br />
s)<br />
Anno 1 Numero 1<br />
[ s min , s max ] θ∈<br />
[ θ min , θ max<br />
___________________________________________________________________________________<br />
s ∈<br />
] (13)<br />
Nel<strong>le</strong> (12) e (13) notiamo che sono defin<strong>it</strong>i anche gli intervalli di definizione <strong>per</strong> i parametri s e θ;<br />
in particolare, <strong>per</strong> quanto riguarda s, se smin=smax abbiamo che la curva generatrice è chiusa. D’ora in<br />
poi ometteremo, <strong>per</strong> brev<strong>it</strong>à, nel<strong>le</strong> equazioni che seguiranno, gli intervalli di definizione dei parametri.<br />
Per definire esplic<strong>it</strong>amente la su<strong>per</strong>ficie descr<strong>it</strong>ta dal<strong>le</strong> (13), occorre caratterizzare <strong>le</strong> funzioni f(s),<br />
g(s), h(s) presenti nella (9).<br />
Come già osservato, la curva generatrice che meglio si presta a descrivere l'a<strong>per</strong>tura della<br />
conchiglia è l’ellisse; conviene fornire <strong>per</strong> i nostri scopi una rappresentazione parametrica dell'ellisse in<br />
funzione dell'angolo polare s defin<strong>it</strong>o come in fig.7 assieme ad altre grandezze già defin<strong>it</strong>e<br />
precedentemente; inoltre, <strong>per</strong> semplic<strong>it</strong>à, si assume che l’ellisse giaccia sul piano xz.<br />
O<br />
z<br />
(0, 0, 0)<br />
β<br />
D<br />
A<br />
x<br />
z<br />
b ρ(s)<br />
s a<br />
O' (D, 0, z0)<br />
x<br />
Fig.7: Curva generatrice ell<strong>it</strong>tica avente semiasse orizzonta<strong>le</strong><br />
a e vertica<strong>le</strong> b; l'ellisse è defin<strong>it</strong>a in funzione<br />
del parametro s.<br />
L'ellisse, rispetto al centro di simil<strong>it</strong>udine O è defin<strong>it</strong>a mediante <strong>le</strong> seguenti equazioni in forma parametrica:<br />
⎧x<br />
⎪<br />
⎨ y<br />
⎪<br />
⎩ z<br />
( s)<br />
= ρ(<br />
s)<br />
cos(<br />
s)<br />
() s = 0<br />
() s = ρ()<br />
s sin()<br />
s<br />
essendo ρ(s) la distanza di un punto generico dell'ellisse dal suo centro O' di coordinate (D, 0, z0); ta<strong>le</strong><br />
distanza è espressa dalla formula:<br />
+ D<br />
+ z<br />
0<br />
(14)<br />
1<br />
ρ () s =<br />
(15)<br />
2<br />
2<br />
cos () s sin () s<br />
+ 2<br />
2<br />
a b<br />
con a e b la lunghezza dei semiassi orizzontali e verticali rispettivamente.<br />
Ricordando <strong>le</strong> (9), (15), (7) e (8) e sost<strong>it</strong>uendo la (14) nella (13) si ottiene:<br />
19
⎧<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎨Y<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
X<br />
( s,<br />
θ)<br />
( s,<br />
θ)<br />
Z<br />
( s,<br />
θ)<br />
= e<br />
= −Ve<br />
= e<br />
θ cot α<br />
θ cot α<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
θ cot α<br />
(<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎜<br />
⎝<br />
cos<br />
cos<br />
2 () s sin () s<br />
2 () s sin () s<br />
2 () s sin () s<br />
− D cot β)<br />
Anno 1 Numero 1<br />
___________________________________________________________________________________<br />
a<br />
a<br />
2<br />
2<br />
cos s<br />
+<br />
cos s<br />
cos<br />
+<br />
2<br />
a<br />
sin s<br />
2<br />
2<br />
2<br />
+<br />
b<br />
b<br />
2<br />
b<br />
2<br />
2<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ D ⎟ cos θ<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ D⎟<br />
sin θ<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Le (16) sono dunque <strong>le</strong> equazioni in forma parametrica di un <strong>modello</strong> semplificato di conchiglia caratterizzato<br />
dai seguenti cinque parametri:<br />
• D che è in relazione alla distanza della curva generatrice dall'asse;<br />
• α che è in relazione al fattore di cresc<strong>it</strong>a della conchiglia;<br />
• β che caratterizza l’elongazione in senso vertica<strong>le</strong> della conchiglia;<br />
• a e b che descrivono la forma dell'a<strong>per</strong>tura.<br />
Ricordiamo che V, il qua<strong>le</strong> può assumere valore 1 o –1, è in relazione unicamente al senso di avvolgimento<br />
del<strong>le</strong> spire, ma non influenza, a differenza gli altri parametri, la forma della conchiglia.<br />
È uti<strong>le</strong> adimensionalizzare la equazioni (16) introducendo i seguenti parametri adimensionali;<br />
ottenendo così dalla (16):<br />
(16)<br />
b<br />
S = (17)<br />
a<br />
D − a<br />
d = D ≥ a<br />
(18)<br />
D + a<br />
20
⎧<br />
⎪<br />
⎪ ∗<br />
⎪ X<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
∗<br />
⎨Y<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
Z<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎩<br />
( s,<br />
θ)<br />
( s,<br />
θ)<br />
∗<br />
( s,<br />
θ)<br />
( s,<br />
θ)<br />
X<br />
=<br />
D<br />
( s,<br />
θ)<br />
Y<br />
=<br />
D<br />
( s,<br />
θ)<br />
Z<br />
=<br />
D<br />
= e<br />
= −Ve<br />
= e<br />
θ cot α<br />
θ cot α<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜1<br />
− d<br />
⎜<br />
⎜1<br />
+ d<br />
⎜<br />
⎝<br />
coss<br />
2<br />
2 sin<br />
cos s +<br />
2<br />
S<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜ α 1−<br />
d<br />
⎜<br />
⎜1<br />
+ d<br />
⎜<br />
⎝<br />
coss<br />
2 sin<br />
cos s +<br />
S<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎜1<br />
− d<br />
⎜<br />
⎜1<br />
+ d<br />
⎜<br />
⎝<br />
sins<br />
2<br />
2 sin<br />
cos s +<br />
2<br />
S<br />
Anno 1 Numero 1<br />
___________________________________________________________________________________<br />
θ cot<br />
() s<br />
2<br />
() s<br />
2<br />
() s<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ 1⎟<br />
cosθ<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
+ 1⎟<br />
sin θ<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎟<br />
− cotβ<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎟<br />
⎠<br />
Le equazioni adimensionali (19) hanno il vantaggio di dipendere da quattro anziché cinque parametri;<br />
inoltre questi parametri sono tutti, a loro volta adimensionali. In particolare S (S∈[0, ∞)) descrive<br />
l’eccentric<strong>it</strong>à dell’a<strong>per</strong>tura (nel caso in cui S=1 si ha una a<strong>per</strong>tura di forma circolare) mentre d<br />
(d∈[0,1)) è in relazione alla distanza dell’a<strong>per</strong>tura dall’asse della conchiglia (nel caso in cui d=0 l'a<strong>per</strong>tura<br />
è tangente all'asse).<br />
INFLUENZA DEI PARAMETRI<br />
Possiamo ora, dando specifici valori ai parametri α, β, d, S, rappresentare alcune su<strong>per</strong>fici che già descrivono<br />
con buona approssimazione molti aspetti della morfologia del<strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong> reali.<br />
Ad esempio, <strong>le</strong> fig. 8 (a,b,c,d) descrivono l'effetto della variazione del parametro β <strong>per</strong> valori decrescenti<br />
mentre i valori degli altri parametri sono costanti e pari a: α=85 0 (equiva<strong>le</strong>nte ad un valore di<br />
tasso di espansione del<strong>le</strong> spire pari a W=1.733 (vedi formula (4)), S=1 (a<strong>per</strong>tura circolare), d=0.<br />
Come si può notare, <strong>per</strong> β=90 0 , si ha una conchiglia planispira<strong>le</strong>, ovvero <strong>le</strong> spire si avvolgono attorno<br />
all’asse della conchiglia senza alcun avanzamento lungo di esso; invece <strong>per</strong> valori di β decrescenti,<br />
la traslazione del<strong>le</strong> spire lungo l’asse è via via sempre più marcata e <strong>le</strong> spire stesse sono sempre meno<br />
compatte e nel comp<strong>le</strong>sso la conchiglia assume una forma più snella e slanciata.<br />
Se invece variamo il parametro d mantenendo α, β ed S costanti pari rispettivamente a: α=85 0 ,<br />
β=90 0 , S=1 otteniamo <strong>le</strong> fig. 9 (a,b,c,d); all’aumentare di d, osserviamo, come ci si poteva aspettare,<br />
una progressiva separazione del<strong>le</strong> spire.<br />
Infine, variamo il parametro α mantenendo β, d, S costanti e pari rispettivamente a: β=90 0 , d=0,<br />
S=1; i risultati sono mostrati nel<strong>le</strong> fig. 10 (a,b,c,d); si può chiaramente notare la transizione verso forme<br />
di <strong>conchiglie</strong> discoidali, tipiche dei bivalvi, al diminuire dell'angolo α (ovvero al crescere del parametro<br />
W) che regola il tasso di espansione del<strong>le</strong> spire.<br />
Per quanto riguarda il parametro S, nel prossimo paragrafo sono mostrati alcuni esempi di <strong>conchiglie</strong><br />
aventi a<strong>per</strong>ture ell<strong>it</strong>tiche con gradi di eccentric<strong>it</strong>à differenti.<br />
Dal punto di vista matematico si può affermare che, ad ogni quaterna (α, β, d, S) corrisponde una<br />
specifica su<strong>per</strong>ficie, ma non è detto che questa sia un <strong>modello</strong> di conchiglia di mollusco realmente esistente<br />
o esist<strong>it</strong>o nel passato; in effetti Raup in [3] ha osservato che <strong>le</strong> forme reali occupano solo deter-<br />
(19)<br />
21
Anno 1 Numero 1<br />
minati sottoinsiemi, di quell’insieme molto più vasto di valori dei parametri (α, β, d, S), detto morfospazio,<br />
che sarebbero, almeno in linea ipotetica, possibili; quindi <strong>le</strong> quattro maggiori specie di invertebrati<br />
che hanno <strong>conchiglie</strong> spiraliformi, cioè bivalvi, brachiopodi, gasteropodi e cefalopodi, occupano<br />
solo determinate e lim<strong>it</strong>ate regioni all’interno del morfospazio lasciandolo in gran parte vuoto. Questo è<br />
un punto di particolare interesse <strong>per</strong> gli studiosi di morfogenesi, un<strong>it</strong>amente all’indagine del<strong>le</strong> cause<br />
specifiche che hanno reso impossibi<strong>le</strong> l'evoluzione di determinate forme teoricamente plausibili.<br />
Fig.8a. Caso β=90 0<br />
Fig.8c. Caso β=20 0<br />
Fig.8b. Caso β=30 0<br />
Fig.8d. Caso β=15 0<br />
___________________________________________________________________________________<br />
22
Fig.9a: d=0 Fig.9b: d=0.2<br />
Fig.9c: d=0.3<br />
Fig.9d: d=0.5<br />
Anno 1 Numero 1<br />
___________________________________________________________________________________<br />
23
Fig.10a: α=85 0<br />
Fig.10a: α=85 0<br />
Fig.10c: α=55 0<br />
Fig.10b: α=65 0<br />
Fig.10b: α=65 0<br />
Fig.10d: α=45 0<br />
Fig.10d: α=450<br />
Anno 1 Numero 1<br />
___________________________________________________________________________________<br />
24
ALCUNI MODELLI DI FORME REALI<br />
Anno 1 Numero 1<br />
Sulla base dei dati ∗ forn<strong>it</strong>i in [4], è possibi<strong>le</strong> ottenere un <strong>modello</strong> semplificato di alcune forme reali viventi<br />
o fossili; nella Tab.I che segue sono forn<strong>it</strong>i, <strong>per</strong> ogni esemplare considerato, i dati necessari alla<br />
(19) <strong>per</strong> poter ottenere una rappresentazione grafica; si veda Fig.11.<br />
Tab.I: Parametri caratterizzanti <strong>le</strong> forme mostrate in Fig.11 (in tutti i casi V=1, cioè il senso di avvolgimento<br />
del<strong>le</strong> spire è in senso orario)<br />
α 0<br />
β 0 d S<br />
Astroceras (Ammon<strong>it</strong>e<br />
fossi<strong>le</strong>)<br />
83.157 90 0.474 1<br />
Euhopl<strong>it</strong>es (Ammon<strong>it</strong>e<br />
fossi<strong>le</strong>)<br />
80.765 90 0.2 0.667<br />
Nautilus 79.796 90 0 0.6<br />
Ep<strong>it</strong>onium 87.136 10 0.2 1.2<br />
Fig.11a: Astroceras<br />
Fig.11b: Fig.11b: Euhopl<strong>it</strong>es<br />
∗<br />
Come specificato dagli autori, tali dati non derivano da effettive misure su un esemplare, ma sono stati dedotti in modo da<br />
adattare al meglio la su<strong>per</strong>ficie ottenuta mediante rappresentazione al computer <strong>le</strong> foto disponibili dell'esemplare stesso.<br />
___________________________________________________________________________________<br />
25
Fig.11c: Nautilus Fig.11d: Ep<strong>it</strong>onium<br />
OSSERVAZIONI CONCLUSIVE<br />
Anno 1 Numero 1<br />
Come appare chiaro, il <strong>modello</strong> descr<strong>it</strong>to in questo articolo non tiene conto dei vari tipi di ornamenti<br />
che appaiono su molti generi di <strong>conchiglie</strong> (protuberanze, coste, rigature), ma si lim<strong>it</strong>a a descrivere la<br />
conchiglia nella sua forma base. Altro aspetto da menzionare è l’orientamento del piano su cui giace la<br />
curva generatrice che potrebbe essere qualunque e non necessariamente coincidente col piano xz. Per<br />
questi ed ulteriori e<strong>le</strong>menti di approfondimento rinviamo a lavori che descrivono modelli più comp<strong>le</strong>ssi<br />
[5], [6], [7].<br />
BIBLIOGRAFIA<br />
[1] D’Arcy W. Thompson: “Cresc<strong>it</strong>a e forma” (Edizione ridotta a cura di John Ty<strong>le</strong>r Bonner), cap. VI, Bollati Boringhieri,<br />
Torino, 1992.<br />
[2] F. Caliò, E. Scarazzini: “Metodi matematici <strong>per</strong> la generazione di curve e su<strong>per</strong>fici”, C<strong>it</strong>tàStudiEdizioni, Milano,1997.<br />
[3] D. M. Raup: “Geometric Analysis of Shell Coiling: General Prob<strong>le</strong>ms”, Journal of Pa<strong>le</strong>ontology, Vol.40, no.5, September<br />
1966, p. 1178-1190.<br />
[4] T. Phillips, S. Brook: ''The Mathematical Study of Mollusk Shells'', www.ams.org/new-in-math/cover/shell1.html<br />
[5] M. B. Cortie: ''Models for mollusc shell shape'', South African Journal of Science, Vol.85, July 1989, p. 454-460.<br />
[6] Il<strong>le</strong>rt C. (1990): “Nippon<strong>it</strong>es Mirabilis. A Chal<strong>le</strong>nge to Seashell Theory?”, Il Nuovo Cimento, vol.12 D, n. 10.<br />
[7] G.Lucca: ''Modello matematico <strong>per</strong> la rappresentazione del<strong>le</strong> <strong>conchiglie</strong>'', Parva naturalia, vol.7, 2005-2006, p.73-90.<br />
Disponibi<strong>le</strong> su internet all’indirizzo www.matematicamente.<strong>it</strong>/applicazioni/<strong>conchiglie</strong>.pdf<br />
___________________________________________________________________________________<br />
26