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SSIS a.a. 2006-2007
Corso Didattiche Disciplinari Integrate
Ins. Teresa Gazzolo, Nucleo di Ricerca Didattica, Università di Genova
Strategie didattiche per intervenire sulla produzione e
comprensione del testo: il ruolo della discussione collettiva
1. IL RUOLO DEL LINGUAGGIO…..
Teoria e riflessioni maturate in Nuclei di Ricerca Didattica, reperibili nel sito
http://www5.indire.it:8080/set/set_modelli/UL/D/modDmat/pres.html
e dalla lettura di L.S. Vygotskij-“Pensiero e linguaggio”– Biblioteca Universale Laterza-
ed. 1998
Parlando di didattica del prestamano, del confronto, delle ipotesi, abbiamo parlato di un
modello di insegnamento che attribuisce una posizione centrale all’idea di educazione
come sviluppo, personale e sociale nello stesso tempo, di idee, atteggiamenti, concetti,
che si strutturano in un percorso formativo fondato sul rapporto tra il vissuto e le
concezioni di allievi e insegnanti, fuori e dentro la classe.
Le idee che “ci facciamo” del mondo e dei suoi fenomeni dipendono da molti contesti di
vita diversi:
• alcune sono direttamente legate all’esperienza personale con l’ambiente fisico in
cui si vive;
• altre piuttosto, ricalcano idee espresse da altri, in famiglia, dai coetanei, alla
televisione… ;
• altre infine sono il prodotto dell’intervento scolastico o comunque di insegnamento.
I diversi contributi influiscono in modo diverso, ma congiuntamente, sul modo di pensare
e di agire di ciascuno, perciò l’allievo dispone di un bagaglio ben strutturato di idee
riguardanti in modo diretto e indiretto le scienze in genere.
Diventa allora irrinunciabile una progettazione didattica, che richieda l’esplicitazione
verbale dei processi di pensiero, permettendo così all’insegnante di mettersi in sintonia
con tale sistema di idee per favorire la transizione dal livello e dalla forma del pensiero
"comune", largamente basato su intuizioni e forme espressive rudimentali, al livello e alla
forma del "pensiero scientifico", caratterizzato da consapevolezza, sistematicità,
volontarietà, attributi che passano attraverso la compiutezza della rappresentazione
verbale, come scrive Vygotskij.
La rappresentazione verbale del proprio pensiero può essere orale o scritta, ma mai deve
assumere il carattere di strumento per valutare negativamente l’allievo, sempre deve
essere vissuta da lui come strumento di dialogo e di aiuto nei suoi confronti da parte dell’
insegnante e dei compagni.
Nel lavoro che di cui parliamo oggi, riguardante la probabilità, è stata usata ampiamente
la discussione, quindi la rappresentazione verbale orale, come interazione di tutta la
classe intorno a un argomento.
I momenti collettivi, tesi alla costruzione di un senso comune condiviso, necessario alla
formazione di concetti, favoriscono l'espressione dei sensi personali (dati dai singoli allievi
alle loro esperienze), a partire dalle descrizioni e interpretazioni di idee che chiamiamo
concezioni.
Ci sono concezioni dette scientifiche, perché in qualche modo fanno riferimento al
sapere scientifico (inteso come sistema di conoscenze accreditate all’interno della
comunità scientifica), e concezioni di senso comune che al pensiero scientifico sono
estranee. Il rapporto tra le concezioni scientifiche e quelle di senso comune può essere
vario, va da una completa separazione a una completa integrazione; anche per uno
stesso soggetto può essere che le concezioni mobilitate nella pratica quotidiana risultino
completamente diverse da quelle mobilitate nella soluzione di un problema scolastico.
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L’insegnante si trova dunque di fronte al problema, estremamente delicato, di mettere
in relazione e promuovere lo sviluppo delle concezioni di senso comune dei propri
allievi, avendo come obiettivo l’integrazione di queste con le concezioni scientifiche;
ciò succede anche quando l’attività didattica riguarda “Probabilità” , che, sebbene
appartenga all’area matematica, ha bisogno di un lungo e ampio lavoro di tipo
linguistico per far affiorare ed evolvere numerose concezioni di senso comune e
interiorizzare procedure e significati. Due sono secondo Vygotskij gli aspetti principali
che caratterizzano il processo di interiorizzazione:
• l’azione esterna che è essenzialmente sociale (attività interpersonale)
• i processi semiotici (interpretazione e produzione di segni, fra cui fondamentale è
il linguaggio) che governano il processo di interiorizzazione
I due aspetti sono interrelati almeno per il fatto che i sistemi di segni (linguaggio
naturale, ma anche rappresentazione mimica, gestuale, iconica…) e i processi semiotici
connessi al loro uso sono parte integrante dell’attività sociale, così come lo sono, o meglio
lo diventano, dell’attività individuale. Il processo di interiorizzazione infatti non è puro
trasferimento di un’attività esterna su un piano mentale preesistente, ma piuttosto un
processo costitutivo del piano mentale stesso.
Nella didattica delle ipotesi abbiamo visto come lo sviluppo dei concetti passi attraverso
un’elaborazione verbale degli aspetti semantici in molti momenti di attività individuali e
quindi con ampio uso del linguaggio verbale scritto che, sempre secondo Vygotskij,
richiede un alto livello di coscienza del processo stesso del parlare, che diventa più
intenzionale e consapevole.
I processi di pensiero che analizzeremo oggi, inerenti la probabilità, si sono sviluppati
soprattutto attraverso discussioni collettive, pur non escludendo alcune attività individuali
necessarie in un primo momento per riorganizzare mentalmente le proprie concezioni e i
propri argomenti prima di portarli in discussione, e in seconda battuta per riflettere su
quelli colti nei discorsi dei compagni o nelle esperienze di giochi di sorte effettuati e
muoversi verso la costruzione di un sapere sociale.
Parlando di costruzione sociale del sapere si fa riferimento ad un’attività di
insegnamento/apprendimento collettiva, cioè riferita al gruppo-classe, costituito da
insegnante ed allievi. Tutti i soggetti coinvolti prendono parte all’attività, con
costruzione e comprensione di significati e di linguaggi specifici a partire dai concetti
quotidiani espressi in un linguaggio quotidiano.
In questa ottica la conoscenza è un processo sociale che si sviluppa attraverso il
contributo di individui diversi che operano insieme per costruire un sapere che può nel
lungo termine essere osservato negli allievi attraverso la loro ricostruzione individuale
del percorso di apprendimento.
La discussione ruota intorno a un compito preciso: costruire ed esprimere in
termini linguistici dei significati, dei concetti.
Il compito dell’insegnante è delicato perché deve prestare molta attenzione per evitare
di pervenire troppo precocemente a definizioni, ma anche per evitare di lasciare
periodi troppo lunghi di incertezza.
C’è una metafora molto bella, coniata da Mariolina Bartolini Bussi, Mara Boni e Franca
Ferri del Nucleo di Ricerca di Modena
"Una discussione matematica è una polifonia di voci articolate su un Oggetto
matematico (concetto, problema, procedura, ecc.), che costituisce un motivo della
attività di insegnamento/apprendimento"
Questa metafora può essere valida, secondo me, per qualsiasi discussione articolata su
un oggetto di conoscenza, non solo per quello matematico, e ha lo scopo di evidenziare
alcuni aspetti importanti propri della discussione collettiva, attuata in classe:
• esiste un tema che ne definisce l'obiettivo, il "motivo";
• esiste l'interazione tra voci (polifonia);
• esiste un riferimento esplicito all'attività di insegnamento/apprendimento
(processo di lungo termine);
• si richiede la presenza di voci diverse tra cui, essenziale, quella dell'insegnante;
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• si valorizza la presenza di voci imitanti (diversi tipi di imitazione nel
contrappunto).
Il lavoro del Nucleo di Modena è alla base del progetto e della conduzione delle
discussioni intorno a probabilità di cui parleremo oggi. Si tratta di discussioni in cui
• interagisce tutta la classe intorno a una parola, un’affermazione, un gesto,
un’immagine mentale…
• allo scopo di favorire l'espressione dei sensi personali (dati dai singoli allievi alle
loro esperienze, ai loro prodotti ed ai loro processi richiamati dalle parole/immagini
in oggetto)
• che rielaborati, modificati, integrati, sostituiti… entreranno in un processo di
costruzione di significati, via via più vicini a quelli del sapere di riferimento
2. PROBABILITA’
Teoria e riflessioni maturate nel nostro Nucleo di Ricerca Didattica e parzialmente
reperibili nel sito Progetto MIUR DIMA, Misurare per conoscere:
“Alle radici del pensiero probabilistico”, 2002,
http://didmat.dima.unige.it/miur/miur_dima/B/probabil/pres.html
Il lavoro sul linguaggio probabilistico cui mi riferisco è stato attuato da me in una classe
della scuola di Camogli in quattro anni, dalla I alla IV.
Esso è frutto del confronto continuo con il Nucleo di Ricerca di Genova e del mio intuito di
vecchia insegnante, abbastanza libera nel lasciarsi portare dai bambini fuori dai “sentieri
canonici”, cercando di cogliere al volo e rilanciare alcuni input interessanti dentro le loro
argomentazioni (perdendone chissà quanti altri!!!).
2.1 Premessa
Perché esplorare le possibilità dei bambini di muoversi in campo probabilistico?
- Motivo fondante è il valore sociale e culturale dell’ alfabetizzazione in probabilità:
oggi per costruire una visione consapevole e razionale di molti aspetti del mondo
che ci circonda, è necessario avere una certa padronanza del linguaggio
probabilistico. Esso, infatti, è largamente diffuso nei mezzi di comunicazione di
massa e di conseguenza è presente nel vissuto di tutti noi.
- Nell’extrascuola i bambini strutturano concezioni su fortuna/sfortuna e strategie
per condizionarle, che l’intervento intenzionale della scuola non può trascurare: il
rischio è che esse si radichino in loro come superstizioni troppo condizionanti. Se a
scuola si cerca di offrire a ciascun bambino l’opportunità di costruire il proprio
apprendimento, a partire dalle concezioni e dalle intuizioni su cui si riflette e si
discute in ogni ambito, perché ciò non si deve fare in quello probabilistico che
invade quotidianamente il suo ambiente mentale sia attraverso il gioco che
attraverso i discorsi degli adulti?
- Inoltre, se come scrive De Finetti,
come "c’è qualcosa di preliminare rispetto alla conoscenza della geometria e della
fisica come scienze, ed è la familiarità con alcune nozioni indispensabili per intenderne
il senso (ad esempio- lunghezza, peso, temperatura…), familiarità che consiste nel
saperne dare una spiegazione concreta, intuitiva, inavvertita…",
così "c’è qualcosa di preliminare rispetto ad ogni teoria sulla probabilità… è una
familiarità con la sua misura in corrispondenza al proprio grado di incertezza su cui si
intende imparare a riflettere.”
a chi tocca occuparsi di costruire questa familiarità che permette di intendere il senso
di questa scienza, se non alla scuola primaria?
Quali obiettivi ci poniamo introducendo il discorso probabilistico nella scuola?
- Obiettivo disciplinare è sicuramente lo sviluppo di strumenti matematici di base in
contesti significativi e coinvolgenti, come il concetto di rapporto che è strumento
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cruciale per parlare di probabilità in termini quantitativi e in particolare per
misurare la probabilità di un evento.
- Obiettivo formativo è rendere meno destabilizzante attraverso il calcolo delle
probabilità il grado di incertezza del reale, che con la sua aleatorietà rischia di
renderci passivi, non quello di riportare tutto e tutti nel campo logico-razionalista
del calcolo combinatorio. Si tratta di aiutare i bambini ad una scelta consapevole
dell’ambito in cui si vogliono muovere e dei limiti ad esso relativi
- Obiettivo educativo è guidare il bambino a guardarsi dal di fuori con ironia allegra
(costruttiva!|) quando, in contesti di gioco, cerca di moderare l’ansia da incertezza
affidando la realizzazione dei propri desideri a quelle piccole stregonerie che adulti
e bambini mettono in atto immaginandole capaci di condizionare il caso.
Come si può favorire lo sviluppo dei concetti probabilistici nel bambino?
- Facendo lavorare i bambini in situazioni di riferimento forti, che mettendo in gioco
la dimensione affettiva e cognitiva, facciano emergere concezioni e schemi
acquisiti e la necessità di comunicarli, rappresentarli e rielaborarli linguisticamente
(come dice Vergnaud);.
- Offrendo loro molte e diverse occasioni di riflettere sul caso e di usare in modo via
via più intenzionale e consapevole le concezioni individuali, favorendo interazioni
tra il contesto interno di ogni bambino e il contesto esterno della situazione di
riferimento, sia attraverso la riflessione individuale che attraverso il confronto con i
pari. Avendo presente che percorsi didattici troppo brevi non incidono sui modi di
pensare più profondi, in quanto non interagiscono con il “sapere comune”. Come
sostiene Vygotskij, “Lo sviluppo del concetto quotidiano deve raggiungere un
certo livello affinché il bambino possa assimilare un concetto scientifico e
prenderne coscienza”.
- Riservando all’insegnante il compito didattico di
programmare i contesti,
introdurre di volta in volta gli strumenti di rappresentazione più adatti (una
delle rappresentazioni grafiche più utilizzate nel lavoro che presento oggi è
l’istogramma a barre, per la sua immediatezza, evidenza e possibilità di
registrazione e di lettura autonoma da parte dei bambini),
rilanciare gli interventi più ricchi di senso emersi in discussione o nelle attività
individuali,
ma soprattutto invitare ciascuno a tradurre in rappresentazioni verbali adeguate
il proprio lavoro mentale, poiché sono le argomentazioni con cui i bambini
sostanziano le loro riflessioni e i loro interventi, a favorire il passaggio graduale ai
concetti scientifici, rendendo oggetto di attenzione volontaria e consapevole i
concetti spontanei. (Vigotskij, cap. VI di “Pensiero e linguaggio”).
2.2 Quanta probabilità è possibile insegnare/apprendere alle elementari?
A questa domanda si sono cercate risposte “sul campo”, attraverso giochi, riflessioni
individuali, discussioni, articolati in un percorso molto flessibile e pronto a cambiamenti di
rotta in relazione agli interventi dei bambini.
Il percorso seguito si fonda sull’ipotesi che per costruire quella familiarità, base per lo
sviluppo di una mentalità probabilistica, di cui parla De Finetti, sia necessario dare
ampio spazio all’ affinamento e all’arricchimento del linguaggio verbale necessario per
argomentare.
Uno dei contesti più ricchi di significati è quello del gioco (ovviamente non gli esercizigioco
concentrati in 3-4 pagine del libro di testo, ma il “gioco” reale, ben più ampio e
coinvolgente!).
Infatti il gioco in generale e i giochi di sorte in particolare sono nel sociale il terreno su cui
si strutturano un linguaggio e un insieme di strategie e di pratiche da cui non si può
prescindere per iniziare un percorso di esplorazione e di conoscenza in questo ambito. I
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segni che accompagnano i giochi sono, anche a livello adulto, intrisi di aspetti magici
determinati dall’ansia di dominare gli eventi per piegarli ai propri desideri, oltre che dall’
abitudine diffusa a ragionar per principi e per cause.
Di conseguenza i bambini portano con sé dall’extrascuola un bagaglio di concezioni su cui
è necessario lavorare a lungo e in modo mirato per costruire un pensiero probabilistico.
2.3 Concezioni scientifiche e di senso comune relative a probabilità
Riconoscere ed elaborare linguisticamente le concezioni preesistenti, scientifiche e di
senso comune, è un passaggio indispensabile per renderle disponibili a modifiche e
integrazioni nel confronto con compagni e insegnante. Vediamo alcuni modi di ragionare
e concezioni diffusi tra i bambini.
* Ragionar per principi. Il ragionare dei bambini (ma non solo il loro!) si basa spesso
su principi. Eccone alcuni esempi:
• desiderio, principio di continuità o di alternanza
Siamo in classe I. Fin dal primo giorno di scuola, ogni giorno i bambini registrano lo stato
del cielo su un calendario e a fine mese registrano in un istogramma a barre la quantità di
giorni di sole, giorni di pioggia etc…, verificando quale tempo meteorologico si è ripetuto
con maggior/minor frequenza, o come dicono loro "vediamo quale tempo ha vinto". A
novembre, quando mancano cinque/sei giorni alla fine del mese l’insegnante chiede:
"Quale tempo vincerà, secondo te, nell’istogramma che faremo a fine mese?"
In questo modo l’insegnante intende rilevare quali argomenti usano i bambini per
sostenere il loro ragionamento, principi o desideri (ad es.: "…perché è brutto tempo da
molti giorni." oppure "…perché voglio uscire a giocare."), dati reali già disponibili sul
calendario per costruire un ragionamento; vuole anche sapere quali usano già un
"linguaggio probabilistico" (forse, può essere, è probabile, è possibile, potrebbe…) e quali
no.
Alcune ipotesi individuali dettate alla maestra:
Roberto — Vincerà, mi sembra, il bello, perché si può andare a giocare con gli amici in
spiaggia. (desiderio)
Michael — Vincerà la pioggia forse, perché la pioggia piove e finora ci sono stati tanti
giorni di pioggia. (continuità)
Chiara – Vincerà il sole perché è già piovuto tanto! (alternanza)
Marco - Di sicuro vincerà il variabile, perché ci sono più variabile e pochissimi degli altri e
rimangono pochi giorni alla fine del mese (osservazione dati, con passeggiata mentale dal
passato, i giorni già segnati, al futuro, mancano pochi giorni a fine mese)
A fine mese, dopo la verifica attraverso l’istogramma a barre, l’insegnante propone una
discussione a partire dalla lettura alla classe del testo di un bambino, che aveva costruito
la propria ipotesi in base ai dati già disponibili sul calendario. L’obiettivo è quello di far
ragionare ciascuno sui tipi di ipotesi prodotte in classe e sulle loro possibilità di successo
(indagine metacognitiva). In base all’esperienza fatta, sembra abbastanza facile per i
bambini riconoscere la fragilità di un’ipotesi basata sul desiderio, anche per chi l’ha
prodotta, e la maggior solidità di quella basata sui dati.
• Il pensiero magico (vedi attività 1: pensiero magico)
I segni che accompagnano i giochi sono intrisi di aspetti magici determinati dall’ansia di
dominare gli eventi per piegarli ai propri desideri, su cui è indispensabile cominciare a
ragionare per acquisirne consapevolezza.
Un esempio: Abbiamo estratto da un sacchetto, rimettendoli dentro ogni volta, i n’ da 1
a 90, per vedere se uscivano più numeri pari o dispari, ovviamente ogni bambino faceva il
tifo per l’uno o per l’altro. Ecco alcuni spezzoni di una discussione, molto lunga e bella,
seguita a un gioco di sorte a inizio II:
Ins. - Mentre facevamo il sorteggio, ho visto Roberto fare una cosa strana ogni volta che
stavo per pescare un numero dal sacchetto. Roberto, vuoi spiegarci cosa facevi?
Roberto- Perché facevo così… come una specie di preghiera che speravo che tirassi su un
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numero pari o dispari… quello che tenevo io… è per questo…
Alessandro- Io dicevo che quando io… io pregavo, dicevo una preghiera e poi dicevo "Non
venire dispari, non venire…", perché tenevo per i pari.
Ins - E questa frase ripetuta funziona, cioè riesce a far venire quello che volete?
Molti- Sìììììì
Alessandro- Sì, funziona.
Michael - Anch’io, lo dicevo all’angioletto che sta dietro.
Ins - E come fa l’angioletto a farmi pescare un numero piuttosto che un altro?
Michael - Fa andare la tua mano sul numero pari.
…..
Ins - Ma se alcuni di voi pregano l’angioletto per i pari, altri per i dispari…
Giulia - Tutti con le preghiere, funziona funziona, e poi non vengono sempre i pari o
sempre i dispari, vengono un po’ tutti. Non funziona sempre. La nostra fortuna è la
sfortuna degli altri. E non funziona sempre infatti!
Roberto apre a tutta una serie di piccoli interventi magici personali, che la
maestra ascolta senza censurarli, ma cercando di orientare verso un’analisi
razionale dei propri comportamenti con la richiesta di esplicitare il “chi” e il
“come” , ma soprattutto sottolineando che le preghiere cercano di ottenere
effetti diversi. Quest’ ultimo argomento viene raccolto e rilanciato alla classe da
Giulia.
Gradualmente le concezioni più profonde, si offrono al confronto e
all’elaborazione linguistica di argomenti che danno loro forma e consapevolezza,
rendendole disponibili a successive integrazioni e modifiche. L’argomentazione
finale di Giulia è un esempio di come i bambini stessi, stimolati a riflettere in
situazioni coinvolgenti sulle idee proprie e dei compagni, arrivino a mettere in
dubbio il pensiero magico.
• Principio di giustizia equiprobabile = giusto (vedi attività 2: "imbroglio")
Solo la situazione di parità, cioè di uguali opportunità di vincere, per i bambini è giusta!
Un esempio: Per la prima volta una situazione non di equiprobabilità: si estrae da
un’urna chiusa, di cui i bambini non possono vedere il contenuto (1 pallina verde, 5
palline rosse, 7 blu) una pallina per volta, che poi viene rimessa dentro; le estrazioni
successive vengono man mano registrate in un istogramma a barre.
Alcuni spezzoni di discussione dopo la lettura del grafico (con pochissime uscite della
pallina verde) a seguito di parecchie estrazioni di palline.
Elisa- Per me sei tu che hai messo meno verdi.
Chiara- Per me è stato un caso, ma erano tante uguali.
Danilo - Secondo me, ne hai messo meno verdi, se no sarebbero stati pescati più volte.
Giovanni- Per me ne hai messe tante uguali, è stato il caso, perché se ne avessi messe
diverse sarebbe stato non giusto.
Pietro- Mi sembra che sono truccate queste palline, perché tutti blu e pochissimi verdi…
Michael- No, io dico che è stato un caso.
Caso, trucco o magia il numero delle palline per colore deve essere uguale!
Apriamo la scatola.
Alcuni- Ma… ce n’è solo una verde!!!
Altri- Ci hai imbrogliato.
Tutti — IMBROGLIONA IMBROGLIONA…
Ins.-Ma che vuol dire imbrogliare? Perché pensate che io vi abbia imbrogliato?
Mattia- Non hai imbrogliato comunque, perché imbrogliare… Sì, in questo caso hai
imbrogliato, perché magari c’era chi teneva per i verdi e quelli lì ci sono rimasti male. Ma
se hanno perso i verdi vuol dire che è colpa tua, perché ne hai messo meno.
* Ragionar per cause - "Il modo comune di pensare, istillato dalla scuola e dalla
cultura tradizionale, disdegna di attribuire qualunque cosa al anziché ad una
causa…
… come ha illustrato uno psicologo inglese, Cohen, l’idea di caso è talmente estranea alla
mente umana che, quando non trova spiegazioni per , essa ricorre alle più
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assurde spiegazioni: alla fortuna, alla superstizione, anche al calcolo delle probabilità, ma
per utilizzarne interpretazioni sbagliate." B. de Finetti
Due esempi da situazioni diverse:
Mattia:- Secondo me la fortuna non esiste. Si vede che nel sacchetto ci sono più numeri
dispari, oppure i numeri dispari erano vicino alla… in superficie.
Roberto- Per me, le palline sono tutte uguali e il verde l’ hanno pescato meno volte,
perché erano laggiù in fondo le palline verdi e la mano non ci arrivava e … pochi ci sono
arrivati perché hanno la mano lunga. (eppure Mattia e Roberto sanno che prima di ogni
estrazione scuotevamo a lungo sacchetto o scatola!)
(segue attività 3: lancio del dado)
* Concezione di tipo matematico.
In determinate situazioni si evidenziano due difficoltà per alcuni bambini:
- Uno è il sovrapporsi del concetto di differenza a quello di rapporto, simile a
quello che nel rapporto proporzionale induce a scegliere la strategia additiva
(es: se un bastone di 1m proietta un’ombra di 1,30m, un bastone di 2 m
proietterà un’ombra di 2,30).
- L’altro è la questione del tempo: la probabilità richiede la capacità di
separare mentalmente il tempo che anticipa la realizzazione (tempo del
rapporto matematico) dal tempo reale dell’effettuazione (tempo del caso).
Ne sono un esempio durante la discussione sul gioco dei labirinti ( si tratta di due
labirinti uno a due strade e l’altro a sei, entrambi con una sola strada chiusa),
proposto da un’alunna, gli interventi che seguono:
Roberto- Se magari uno va nella strada sbagliata delle sei, sa sicuramente che le altre
cinque sono esatte; e lo stesso in quello da due, se va in una sbagliata, sa che l’altra è
giusta.
Elisa- Io sono d’accordo con Roberto, perché quando tu sai che una è sbagliata, le altre
sono tutte giuste.
Emanuele- Io sono d’accordo con Roberto, perché, scusa, hanno tutti e due la stessa
probabilità di uscire, perché quello ne ha una sbagliata e l’altro anche..
Una strada chiusa in entrambi i labirinti, quindi
-1 per ciascuno equiprobabilità
Saranno gli argomenti forti e ben articolati di chi è già più prossimo al concetto
di rapporto a spingere via via gli altri verso un confronto corretto per stabilire la
probabilità a priori
Mattia- Posso fare un esempio? Nel labirinto da due strade c’è un’uscita, mentre in quello
da sei ce ne sono tre; per far diventare quello da sei più facile di quello da due, devi
mettere a più della metà delle strade l’uscita, perché se nell’altro ci sono due strade e
un’uscita, è la metà.
Giulia- Ha ragione Mattia, perché se tre sono chiuse e tre sono aperte e in quello da due
strade ce n’è una aperta e una sbagliata… è come se le tre sbagliate formassero una
strada sbagliata e le tre giuste una strada giusta, come in quello a due strade.
Gradualmente i bambini immersi in una molteplicità di esperienze passano da
valutazioni largamente approssimate ad altre più precise, attraverso giochi,
riflessioni, rappresentazioni grafiche, discussioni.
(segue attività 4: lancio della moneta)
2.4 PROBABILITA’ come RAPPORTO tra casi favorevoli e casi possibili
L’approccio più significativo e condiviso allo strumento matematico di rapporto
tra eventi possibili e eventi favorevoli avviene a metà III quando i bambini
devono decidere se sia più facile vincere puntando su una moneta o su un dado
che verranno contemporaneamente lanciati dalla maestra.
Come sempre ognuno scrive la propria scelta motivandola; particolarmente
interessante per l’argomentazione pare all’insegnante quella di Anna, perciò la
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ilancia alla classe dopo 50 lanci registrati in un istogramma a barre per una
riflessione individuale scritta:
“Anna prima dell’inizio del gioco ha scritto:- Io sceglierei la moneta, perché ha solo due
lati, allora hai più probabilità che esca sempre il tuo, perché nel dado ci sono tanti numeri
che possono uscire invece che il tuo.
Leggi, rifletti, poi scrivi che cosa ne pensi.”
Ecco le riflessioni individuali scritte di alcuni bambini:
E’ giusta
Ha ragione,
e quasi
quasi vorrei
cambiare
Ha ragione
Perché la moneta ha meno facce e se uno tiene per la croce con la moneta
può uscire o la testa o la croce e allora ha meno possibilità di non uscire,
invece con il dado se tieni per il 4, magari può uscire pochissime volte,
perché a parte quella facciata del 4, ce ne sono ancora 5 di facciate.
Roberto
Io avevo pensato che con il dado avevo più scelte, quella dell’1, del 2, del
3… e si aveva una vera sfida; però come dice Anna, con la moneta hai più
possibilità di vincere. Elisa
Perché nella moneta c’è un solo nemico, invece nel dado ci sono 5 nemici.
Giovanni
94% dà ragione a Anna solo 1 bambino non condivide
Da questo momento una parte sempre più larga di bambini partecipa ai giochi di
sorte con maggior attenzione agli eventi ed ai loro mutamenti e maggiori capacità
di decentramento dalla propria volontà, rispetto ai livelli iniziali.
L’attenzione dei bambini è ora sempre più rivolta al fatto che scoprendo alcune
“regolarità matematiche” essi possono fare previsioni motivate sull’andamento dei
giochi di sorte; essi cercano in giochi diversi queste regolarità e vengono guidati a
osservare ed indagare per via argomentativa i motivi per cui le previsioni non
sempre si verificano.
2.5. - Verso il calcolo combinatorio (vedi attività 5: la morra)
Nel gioco della morra i bambini arrivano a scoprire concretamente la necessità in
alcuni casi di individuare le combinazioni possibili per fare una previsione a priori.
Ecco alcuni interventi in discussione:
Elisa: Io son d’accordo con Mattia, perché lui conta il risultato.
Giulia: …Mattia ha calcolato tutte le possibilità, perché ha guardato le due mani e
ha messo il risultato e ha guardato secondo me tutti i modi.
Ins.- E’ diverso pensare al risultato o pensare alle due mani? O è la stessa cosa?
Mattia-… è … la stessa cosa… no… sì…
Giulia- No, perché se tu pensi alle mani… al numero che butti… perché il risultato è un
numero più un numero che fa un certo risultato. Prima di essere calcolati quei due numeri
sono da soli, non sono già insieme… perché se uno butta 3 e l’altro 4…
Giulia intuisce la differenza tra puntare l’attenzione sul risultato-somma o
sui numeri che lo compongono e Roberto coglie al volo
Roberto - … tipo, 4 è un numero 3 è un altro numero, come ha detto Giulia, se li metti
insieme fanno 7, però prima di metterli insieme il 4 è un numero solitario e il 3 è un altro
numero solitario, poi quando si mettono insieme viene un numero formato da numeri più
piccoli…
Giulia-… sì, ma prima di essere calcolato il risultato, i due numeri possono essere degli
altri.
Ins.- Puoi fare un esempio, Giulia, per farci capire meglio il tuo ragionamento?
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E’ importantissimo che tutti ragionino sulle intuizioni dei due compagni per
interiorizzare i loro processi di pensiero, perciò individualmente ogni bambino
cerca di scoprire combinazioni diverse per formare i vari numeri e le scrive.
Insieme poi facciamo l’istogramma a barre di tutte le combinazioni possibili:
6
5
4
3
2
1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Aver scoperto una regola non significa automaticamente averla concettualizzata,
perciò il gioco che segue deve essere un rilancio di questa intuizione, per
rafforzare l’idea che sotto ad alcuni eventi stanno una serie di combinazioni
possibili di cui bisogna tener conto per misurarne correttamente la probabilità.
Questa volta lanceremo due dadi, ma prima i bambini devono scrivere per quale
numero tengono e perché. Data la difficoltà dell’argomento, prima di giocare
l’insegnante propone ancora una riflessione individuale scritta, rilanciando ciò che
ha scritto Giulia:
Consegna.
Roberto- Giulia ha ragione, perché infatti il 2 ha solo 1+1 per riuscire, perché 0 e 2 o 2 e
0 non si possono fare, perché nei dadi non c’è lo 0, quindi con il 2 ha ragione; poi, al 12
sono d’accordo perché c’è solo 6+6; e per il 7 sono d’accordo, perché il 7 ha 6+1, 5+2,
4+3,…. Quindi ha ragione perché il 7 è l’unico che ha sei probabilità di uscita, e il 2 e il 12
sono gli unici che hanno due probabilità di uscita.
E dopo 126 lanci rappresentati in un istogramma a barre si discute. Spezzoni
di discussione
Ins.- Fate un commento a questo grafico, cioè dite ciò che pensate guardandolo.
Elisa- Io guardando questo grafico sto capendo, per esempio, che il 2 ha un modo, e
infatti è uscito soltanto una volta; quindi ha poche probabilità di uscire e infatti… i numeri
che hanno più modi hanno avuto più probabilità di uscire.
Giulia- Io non sono tanto d’accordo con Elisa, perché anche il 12 ha una probabilità di
uscire come il 2, eppure ha più quadratini (nel grafico), perché il 2 ne ha uno e il 12 ne ha
7.
Michael- Io nel grafico ho notato che i numeri ai lati, cioè il 2, 3, 4, 10, 11, 12 sono usciti
meno di quelli al centro, perché quelli ai lati hanno meno modi, meno coppie per formare
il risultato, invece quelli al centro hanno più modi.
Emanuele- Io voglio dire che il 7, sì, ha più modi, ma il 7 è ora in testa, ma potrebbe
anche perdere. ORA è in testa. Ma potrebbe anche rimanere indietro.
Giulia- E’ possibile che un numero come il 7 possa in cento tiri non uscire più, perché lo
dice la parola, PROBABILE non vuol dire che è sicuro che esca sempre, però se bisogna
scegliere prima tra un numero e l’altro è meglio scegliere quel numero, perché è un po’
più avvantaggiato.
Si separa il tempo del RAPPORTO MATEMATICO indipendente dagli eventi, dal tempo della
realizzazione, che è il TEMPO DEL CASO.
Giovanni- Per me è possibile che il 7 resti indietro, infatti all’inizio del gioco era molto
basso e gli altri lo superavano. E poi son d’accordo con Giulia che probabile vuol dire
incerto, non sicuro.
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Ins.- Quale considereresti un evento raro?
Mattia – Che vinca il 2… rarissimo.
Anna- Il 7 può rimanere indietro, ma secondo me non per cento tiri non esce più, perché
comunque uscirà, non può stare fermo per cento tiri!
2.6. - Legame frequenza-probabilità (vedi attività 6: confronto morra-dadi)
La successiva proposta mette a confronto in discussione due istogrammi: uno
registra gli eventi nel gioco della morra e l’altro nel gioco dei dadi.
Consegna : Abbiamo giocato prima alla morra con due mani, poi ai dadi con due dadi.
Entrambe le volte avete scoperto che alcuni numeri somma hanno più probabilità di altri
di uscire, però osservando gli istogrammi delle uscite si rilevano differenze notevoli su
alcuni numeri, è possibile trovare delle motivazioni? Quali?
numero delle uscite
…..
Dopo una breve riflessione individuale, in cerchio, con il foglio che riporta i due
grafici in mezzo, si rilegge o la consegna precedente e comincia la discussione.
25
20
15
10
5
0
numero delle uscite
20
15
10
5
0
DUE DADI
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
due mani
somme due dadi
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
somme due mani
Uscite
La prima analisi dei grafici rivela che ormai tutti i bambini leggono al di là dei
numeri-somma i modi per formarli, le combinazioni.
Elisa- Secondo me, l’ultimo della morra è diventato alto perché tu decidi che numero
buttare e, tipo, se butti 5 è probabile che anche l’altro butti 5.
Emanuele- Sì, è probabile che anche lui butti 5, perché certe volte ti viene di buttare
sempre 5.
Molti- Perché è facile!
Giulia- Il 5 è molto facile, perché tu devi fare veloce e apri tutta la mano e allora è facile.
Matteo- Il numero 12 nei dadi c’è meno volte, perché ha solo una probabilità, e anche il
10, però il 10 è più comodo nella morra, invece nei dadi ci sono i dadi nel bicchiere e è
più difficile che venga 6 e 6 tante volte.
…..
Analisi notevole della casualità totalmente indipendente o parzialmente
indipendente dall’intervento del bambino. Mi sembra indicativa di un
10

significativo superamento dell’egocentrismo che secondo Piaget impedirebbe al
di sotto di una certa età di ragionare su probabilità.
2.7. Verso gli eventi casuali composti (vedi attività 7: sorteggio per interrogazioni)
Fine classe IV - Una delle ultime discussioni vissuta con grande partecipazione
emotiva, evidenzia come i bambini siano entrati in pieno nel legame frequenza
– probabilità e nel campo degli eventi casuali composti, che sarebbe impossibile
a questa età affrontare sul piano teorico, ma sul piano sperimentale preparano
quel terreno intuitivo su cui si potrà successivamente fondare l’analisi razionale
delle situazioni di incertezza”.
Consegna individuale scritta: “Oggi interrogo di calcolo orale; tu speri di essere
interrogato o no? Faremo 30 sorteggi di nomi per decidere chi interrogare. Preferisci che
venga estratto un nome per volta, rimettendo ogni volta nella scatola il biglietto, OPPURE
che vengano estratti cinque nomi per volta, rimettendoli ogni volta nella scatola?”
Segue discussione partendo dal confronto fra le argomentazioni di due alunni
Ins. (scrive alla lavagna)- Ragionando sulle modalità del sorteggio Luca e Pietro hanno
espresso due valutazioni diverse:
Luca: Nel primo modo si può venire sorteggiati 30 volte (difficilmente!), invece nel
secondo modo puoi venire solo 6 volte.
Pietro- Hai più probabilità pescando 5 nomi per volta, perché più biglietti prendi più hai
probabilità di essere interrogato.
Cerchiamo di capire discutendone insieme chi ha ragione.
……
Chiara- Secondo me, Pietro potrebbe avere ragione e non ragione, come ha detto la
Giulia, perché se consideri che lui pensi a quando sorteggi una volta ha ragione, perché
hai più possibilità di essere pescato, ma se tu consideri quante volte puoi essere pescato
in tutto ha ragione Luca. Hanno ragione tutti e due…
Giulia- Ma non fa il calcolo delle probabilità… quello che è possibile. Però per Luca i casi
favorevoli sono 1 su 30, invece quello che dice Pietro sono 5 su 30, scusa, dovrebbe
essere più conveniente quello di Pietro, perché se i casi favorevoli sono 5 su 30 e per
l’altro 1 su 30!
…….
Evandro – Io e Emanuele cercavamo di calcolare diciamo le.. i casi favorevoli e i casi
sfavorevoli… perché noi abbiamo diviso i casi favorevoli e i casi sfavorevoli, perché…
30:25… perché 25 sono … le possibilità sfavorevoli su 30…
….
Ins.- Ma voi che cosa stavate cercando. Date un nome a questa cosa.
Mattia- Un rapporto!
Emanuele e Evandro- Sì, il rapporto!
Il senso generale è stato costruito nelle varie situazioni di riferimento, la parola
permette ora di compiere un atto di generalizzazione e rendere stabile il
concetto.
2.8. Conclusione
In base a questa esperienza ci pare non solo possibile, ma anche opportuno lavorare in
questo ambito fin dalla prima elementare.
Un modo diverso di guardare giochi e attività quotidiane ha portato i bambini:
* ad entrare nel gioco come in un gioco, ragionando, parlando, ascoltando, confrontando,
appassionandosi, credendoci ma non fino in fondo, lasciando a ciascuno le piccole magie
in cui crede solo un po’…
* ad accettare situazioni di incertezza che hanno cominciato a dominare effettuando
valutazioni di probabilità di eventi
* a strutturare un terreno intuitivo e alcuni significati su cui si potranno, in una fase
successiva, fondare l’analisi razionale delle situazioni di incertezza e le definizioni in un
ambiente teorico .
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E’ stato soprattutto l’uso del linguaggio a favorire la strutturazione di una mentalità
probabilistica:
- le argomentazioni di tipo magico sono state via via confinate in uno spazio/gioco
adeguato alla loro sostanza, inconsistente proprio in quanto individuale contrastato
dall’ individuale di un altro. Come ha detto Giulia “la fortuna mia è sfortuna tua” e
il principio di continuità confligge con quello di alternanza!
- le argomentazioni di tipo causale hanno lasciato gradualmente spazio
all’individuazione di una probabilità a priori e poi alla lettura degli eventi
distinguendo tra evento raro ed evento probabile senza però essere certi o
escludere alcuna casualità possibile
- le intuizioni e le argomentazioni matematiche dei più maturi hanno spinto ogni
bambino, secondo i suoi tempi di apprendimento, verso quella zona di sviluppo
prossimale che consente di costruire, e non semplicemente memorizzare, il
significato di rapporto.
“Questa abitudine a cercar di tradurre il grado di incertezza in misura di
probabilità, e l’attitudine a farlo con attenzione consapevole”, secondo noi,
dovrebbe rimanere l’obiettivo invariato fino al termine della scuola elementare, per
evitare di castrare, con l’uso precoce di tecniche complesse di calcolo, l’argomentare che
ne struttura i significati.
Una riflessione sul metodo “DISCUSSIONE”, qui ampiamente utilizzato:
E’ VERO che a guidare verso significati nuovi sono per lo più sempre gli stessi alunni (più
intuitivi, più maturi…),
PERO’ questo non rende la discussione equivalente ad una spiegazione dell’insegnante,
PERCHE’ gli “alunni-guida” arrivano a costruire e rappresentare linguisticamente il loro
pensiero all’interno di un lungo percorso condiviso con i compagni e guidato
dall’insegnante.
A tale percorso collettivo contribuiscono tutti gli alunni, esplicitando esperienze,
riflessioni, concezioni … in un crescendo di intuizioni e argomentazioni verso la
costruzione concettuale.
In tale percorso tutti, anche le diverse “voci imitanti nel contrappunto”, hanno modo di
chiarire, integrare, modificare … le loro concezioni e di interiorizzare script di
ragionamento e significati a partire dalla loro personale soglia di sviluppo prossimale.
Tutti si trovano in condizioni favorevoli per costruire concetti solidi, integrat nel
patrimonio di conoscenze acquisite.
La partecipazione alla costruzione sociale della conoscenza realizzata nella discussione
consente agli alunni di appropriarsi dei contenuti, proprio grazie al fatto che partecipano
alla costruzione graduale degli stessi (sotto la guida dell'insegnante), cosa che manca
nella trasmissione della conoscenza da insegnante a alunni.
I "giochi linguistici" (come quello legato alla funzione trasformazionale del linguaggio
naturale) consentono il progressivo avvicinamento "partecipato" degli alunni al concettoobiettivo,
che così risulta intrecciato all'insieme delle idee che gli alunni elaborano, e non
inserito dall'esterno come oggetto isolato.
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