lezione del 27 ottobre - Facoltà di Scienze della Formazione

Dallo spazio del bambino agli
spazi della geometria
Prof.ssa Antonella Montone
montone@dm.uniba.it
Il nostro percorso
• Lavorare per competenze sulla geometria
• Introduzione sulla geometria:
- riferimenti psico-pedagogici e filosofici
- sui fondamenti
- metodologici
• Attività sulla geometria:
- Sperimentazione in classe
- Costruzione di itinerari: dalla spazialità alla geometria formale
• Uso di strumenti:
- Il geopiano per le trasformazioni geometriche e per la
geometria dinamica
- Software didattici
• Prove di verifica per competenze
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Qualche riflessione…
• Sull’importanza della “spazialità”
• Sulla complessità dei cammini che portano
dalla spazialità alla geometria, cioè alla
“scienza dello spazio”
Nella scuola dell’obbligo si dovrebbe partire dalle
esperienze spaziali ed evitare di rifuggire
troppo presto nel livello “geometrico”.
• argomento con forte valenza interdisciplinare
I programmi
Nel settore “Geometria” riportano molte attività
che sarebbe più corretto dire “spaziali”
piuttosto che “geometriche”.
Tuttavia la conoscenza della geometria aiuta
molto in una più approfondita comprensione
dello spazio…
Percorso notevolmente complesso e indefinito!
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SPAZIO E FIGURE
SPAZIO PIANO SPAZIO
“Disegnare figure geometriche e costruire modelli
materiali anche nello spazio, utilizzando strumenti
appropriati” [fine terza primaria].
“Costruire e utilizzare modelli materiali nello spazio e nel
piano come supporto a una prima capacità di
visualizzazione” [fine quinta primaria].
“Rappresentare oggetti e figure tridimensionali in vario
modo tramite disegni sul piano. Visualizzare oggetti
tridimensionali a partire da rappresentazioni
bidimensionali” [fine terza secondaria primo grado].
P E N S A R E L O S P A Z I O
P A R L A R E D I S P A Z I O
SPAZIALITA’ e GEOMETRIA
Il vissuto, il privato La teoria
Spazio fisiologico
Spazio rappresentativo
Motivi estetici
Motivi filosofici
Motivi fisici
• Percorso “psicologico”
• Percorsi “culturali”
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Il percorso psicologico e le prime
retroazioni
• Lo sviluppo del bambino: la teoria di Piaget
Il livello “percettivo” (spazio fisiologico): comprende
soprattutto la capacità di movimento.
Nell’inquadramento piagettiano si ritiene caratteristico
della fase senso motoria (fino a 18 mesi)
Il livello rappresentativo (spazio rappresentativo):
comporta la rappresentazione mentale di figure, di
situazioni spaziali, e la capacità di riprodurle,
tendenzialmente in assenza dell’oggetto al quale si
riferisce.
Si può dire che un bambino ha raggiunto la fase intiutiva
I livelli dell’esperienza spaziale
• Il microspazio: fino a metà dell’altezza del
soggetto (quando si opera su un tavolino)
• Il mesospazio: da matà fino a cinque volte
(entro una stanza)
• Il macrospazio: oltre
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• Nella fase intuitiva appaiono interazioni con altri
filoni e con la geometria che siamo abituati a
considerare “adulta”.
• Il “Programma di Erlangen” di Felix Kline: riconosce
l’esistenza di una pluralità di geometrie, ciascuna
interessata allo studio di un complesso di proprietà,
invarianti per le trasformazioni di un gruppo.
La geometria metrica euclidea studia le proprietà
invarianti per isometrie
La geometria proiettiva studia le proprietà
invarianti per proiettività
La topologia studia le proprietà invarianti per
deformazioni continue
• Federigo Enriques analizza i principi delle geometrie
più significative in relazione a “gruppi di sensazioni”:
La vista porta alla geometria proiettiva
Il tatto alla topologia
Un “tatto speciale” porta alla geometria metrica: è
possibile confrontare delle lunghezze, per esempio con
la mano aperta
• Piaget osserva che un bambino nel riprodurre una
figura è capace abbastanza presto di rispettare la
struttura topologica (per es una circonferenza viene
riprodotta come una linea chiusa); solo più avanti
vengono rispettati i rapporti metrici.
Le trasformazioni topologiche sono molto più “libere”
delle proiettività e queste delle isometrie: quindi è più
facile che due figure siano topologicamente equivalenti
piuttosto che metricamente equivalenti!
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Parlare dello spazio
Nei primi obiettivi di scuola primaria compaiono
“attività di verbalizzazione” a proposito di
situazioni spaziali (descrivere percorsi, eseguire
percorsi in base a istruzioni…).
I concetti geometrici che intendiamo trattare
necessitano di opportune parole.
Una trattazione (informale o assiomatica) ha
bisogno di un lessico specifico.
“Parlare di situazioni spaziali” è quindi un
momento fondamentale nello sviluppo della
spazialità e della geometria.
Difficoltà
Le situazioni spaziali sono molto più ricche rispetto ad
altre attività intellettuali di linguaggio specifico con
le quali cerchiamo di esprimerle: si pensi alla
difficoltà che molti incontrano proprio nel
descrivere una figura o un percorso; si pensi alla
ricchezza delle “forme possibili”, e alle poche
parole che il vocabolario ufficiale della geometria ci
mette a disposizione.
Per esempio la parola aquilone per indicare il
deltoide (quadrilatero simmetrico rispetto a una
diagonale)
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La discussione matematica in classe
“Una discussione matematica è una polifonia di
voci articolate su un oggetto matematico
(concetto, problema, procedura, ecc.), che
costituisce un motivo dell’attività di
insegnamento-apprendimento” (Bartolini
Bussi, 1995).
La metafora usata per descrivere la discussione matematica ha lo
scopo di sottolineare alcuni aspetti importanti di questa attività:
Esiste un tema che ne definisce l’obiettivo
Esiste l’interazione tra voci (polifonia)
Esiste un riferimento esplicito all’attività di
insegnamento/apprendimento (processo di lungo termine)
Si richiede la presenza di voci diverse tra cui, essenziale, quella
dell’insegnante
Si valorizza la presenza di voci imitanti (diversi tipi di imitazione
nel contrappunto)
Si prescinde dall’esistenza fisica di una comunità di parlanti
(discussione con un interlocutore non fisicamente presente, ma
rappresentato da un testo scritto).
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La discussione matematica dell’intera classe
orchestrata dall’insegnante garantisce, con la
presenza di quest’ultima, la possibilità
dell’articolazione di voci diverse da quelle degli
allievi.
L’insegnante ha un ruolo di guida nel senso che:
Inserisce una particolare discussione nel flusso
dell’attività della classe
Influenza la discussione in modo determinante,
inserendosi con interventi mirati nel suo
sviluppo.
Si possono individuare per la scuola primaria e secondaria di I
grado tre grandi tipologie di discussione (con sottotipi):
A. Discussione di un problema, vista come parte dell’attività complessiva di
problem solving, nei due aspetti di:
A1. Discussione di soluzione, intesa come quel processo di tutta la classe che
risolve un problema dato a parole con l’eventuale supporto di immagini o
oggetti.
A2. Discussione di bilancio, intesa come il processo di informazione, analisi e
valutazione delle soluzioni individuali proposte ad un problema dato a
parole, con l’eventuale supporto di oggetti o immagini, o nel corso di una
discussione orchestrata dall’insegnante.
B. Discussione di concettualizzazione, intesa come il processo di costruzione
(del concetto) attraverso il linguaggio e collegamenti tra esperienze già
vissute e termini particolari della matematica. Essa può essere introdotta da
domande dirette (che cosa è un numero, che cos’è un grafico) o indirette
(perché molti di voi hanno descritto questo problema come un problema di
disegno geometrico?).
C. Meta-discussione, intesa come momento della definizione dei valori e degli
atteggiamenti nei confronti del sapere matematico. Essa può essere
introdotta da domande del tipo: “come nascono le figure?”, “perché è
importante generalizzare in matematica?”.
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In una prima approssimazione, possiamo riconoscere
la discussione matematica nella parte verbale
dell’attività di insegnamento/apprendimento nelle
lezioni di matematica, così come questa può essere
riprodotta da un registratore. E’ ovvio che questa
parte verbale non esaurisce l’attività in quanto non
tiene conto degli aspetti gestuali, grafici, ecc.,
tuttavia ci offre una prospettiva rilevante sui
processi che si svolgono nella classe, per la
tradizionale importanza che il linguaggio riveste
nell’ambiente scolastico. Dopo aver svolto in classe
la discussione, con il registratore e l’annotazione
diretta di particolari significativi non ricostruibili
dalla sola voce, si affronta il lavoro della
sbobinatura.
Solo sul protocollo trascritto sarà possibile compiere
gli andirivieni che consentono l’analisi accurata
della discussione. L’insegnante ricostruisce il
legame tra la particolare discussione e i motivi
dell’attività; ricostruisce la costellazione di
intenzioni che ritiene aver guidato i suoi interventi;
suddivide la discussione in episodi; analizza la rete
di connessioni tra gli episodi; analizza la
corrispondenza tra le intenzioni, le strategie messe
in opera e il processo di interazione con
riferimento al ruolo dell’insegnante; analizza poi il
percorso di ogni singolo allievo nella discussione,
cercando gli indicatori dell’appropriazione dei
motivi individuati.
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La lettura critica con interpretazione, di voci esterne
alla classe, come ad esempio le fonti storiche, non
deve avere caratteristiche monologiche, che
potrebbero generare al più adesioni passive, ma è
necessario che il testo sia interpretabile e
interpretato, con riferimento all’esperienza già
svolta dagli allievi. Volutamente, in questo scritto,
non sono citate particolari e possibili tipi di
discussione, ad esempio non si parla di
dimostrazioni. I motivi possono essere vari: la
nostra scelta si è orientata sulla scuola elementare e
media; la trattazione della dimostrazione in
discussione è molto delicata, per le differenze tra
argomentare e dimostrare, tra efficacia e rigore. Per
tali motivi, il problema rimane quindi aperto.
Competenze matematiche:
Lo spazio e le figure
In contesti diversi di indagine e di osservazione:
• esplorare, descrivere e rappresentare lo spazio
• riconoscere e descrivere le principali figure piane e
solide
• utilizzare le trasformazioni geometriche per operare su
figure
• determinare misure di grandezze geometriche
• usare la visualizzazione, il ragionamento spaziale e la
modellizzazione geometrica per risolvere problemi del
mondo reale o interni alla matematica
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Competenze trasversali
Collocare nel tempo e nello spazio
- Avere consapevolezza della dimensione storica e della collocazione spaziale di
eventi considerati.
Comunicare
- Individuare forme e strumenti di espressione orale, scritta, grafica o iconica per
trasmettere un messaggio.
- Cogliere i significati di un messaggio ricevuto
Costruire ragionamenti
- Organizzare il proprio pensiero in modo logico e consequenziale. Esplicitare il
proprio pensiero attraverso esemplificazioni, argomentazioni e dimostrazioni
Formulare ipotesi e congetture
- Intuire gli sviluppi di processi analizzati e di azioni intraprese
Generalizzare
- Individuare regolarità e proprietà in contesti diversi. Astrarre caratteristiche
generali e trasferirle in contesti nuovi
Competenze trasversali
Inventare
- Costruire ‘oggetti’ anche simbolici rispondenti a determinate
proprietà.
Porre in relazione
- Stabilire legami tra fatti, dati, termini.
Porre problemi e progettare possibili soluzioni
- Riconoscere situazioni problematiche. Stabilire le strategie e le
risorse necessarie per la loro soluzione.
Rappresentare
- Scegliere forme di presentazione simbolica per rendere evidenti
relazioni esistenti tra fatti, dati, termini. Utilizzare forme
diverse di rappresentazione, acquisendo capacità di passaggio
dall'una all'altra.
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