Elaborazione Numerica dei Segnali

4.1. Campionamento 83
Per maggior precisione, si ha:
f(t) = F −1 {F (ω)}
= τ
= τ
= τ
+∞
k=−∞
+∞
f(−nτ)F −1 e inτω rettW (ω)
n=−∞
+∞
−1
f(kτ)F e −ikτω
rettW (ω)
k=−∞
f(kτ)
π sin( τ t − kπ)
π(t − kτ)
(per la linearità e per la (4.3))
(ponendo k = −n)
ottenuta applicando la proprietà di traslazione temporale all’antitrasformata della funzione
rettangolo (vedi Esempio 2.5.3), tenendo conto che W = 1/2τ.
Esempio 4.1.1
Un segnale contiene componenti in frequenza inferiori a 4 kHz; determinare la minima
frequenza di campionamento che ne permetta la ricostruzione priva di errore.
Basta calcolare il tasso di Nyquist 2 × 4 = 8 kHz.
Il risultato precedente è stato ottenuto supponendo di campionare il segnale a banda
limitata da B con una frequenza W > 2B. Se ora supponiamo di campionare il segnale a
banda limitata da B con una frequenza W < 2B, il metodo di costruzione sopra descritto
non lavora più a causa delle sovrapposizioni che si creano nella ripetizione periodica del
segnale trasformato, come mostrato in Figura 4.4.
. . .
Q( ω)
−4 π W −2 π W
2 π W 4 πW
Figura 4.4 Tipica manifestazione del fenomeno dell’aliasing.
A causa di questo effetto, chiamato equivocazione o aliasing, non è in generale possibile
ricostruire il segnale di partenza sulla base del segnale campionato. Per evitare questo
fenomeno, un sistema campionatore a frequenza Fs viene normalmente fatto precedere da
un filtro passa-basso con frequenza di taglio fmax al più Fs/2, detto filtro anti-aliasing,
come mostrato in Figura 4.5.
. . .
ω