Elaborazione Numerica dei Segnali

82 Conversione Analogico-Digitale
Fourier:
. . .
Q(ω)
−4 π W −2 π W
2 π W
4 πW
Q(ω) =
+∞
n=−∞
Figura 4.3 Segnale periodico di periodo 4πW .
n
i
cne 2W ω , dove cn = 1
4πW
2πW
−2πW
. . .
ω
n
−i
Q(ω)e 2W ω dω.
Poiché nell’intervallo [−2πW, 2πW ] vale che Q(ω) = F (ω), possiamo porre:
cn = 1
4πW
2πW
−2πW
n
−i
F (ω)e 2W ω dω. (4.1)
Osserviamo ora che f(t) è l’antitrasformata di Fourier di F (w), cioè:
f(t) = 1
2π
+∞
−∞
F (ω)e iωt dω = 1
2πW
F (ω)e
2π −2πW
iωt dω. (4.2)
Analizzando la (4.1) e la (4.2) e ricordando che W = 1
2τ , si ricava:
Possiamo concludere:
cn = 1
2W f
− n
= τf(−nτ).
2W
F (ω) = rettW (ω)Q(ω)
=
= τ
+∞
n=−∞
+∞
n=−∞
n
i
cne 2W ω rettW (ω)
f(−nτ)e inτω rettW (ω). (4.3)
La (4.3) mostra che F (w) (e quindi la sua antitrasformata f(t)) può essere ricostruita sulla
base della conoscenza di f(nτ) (−∞ < n < ∞), provando così l’enunciato.