Elaborazione Numerica dei Segnali

4.1. Campionamento 81
f(t) Campionatore
f(n τ)
F s
Figura 4.1 Campionatore.
Una precisa risposta al problema in questione è data dal teorema del campionamento:
un segnale f(t) è ricostruibile da f(nτ) se le componenti armoniche contenute nel segnale
hanno frequenze inferiori a Fs/2, dove Fs è la frequenza di campionamento.
Teorema 4.1 (Teorema del campionamento) Un segnale f(t) a banda limitata da
fmax Hz, la cui trasformata di Fourier F (ω) è quindi nulla per |ω| > 2πfmax rad/sec, può
essere univocamente ricostruito dai suoi campioni f(nτ) (−∞ < n < ∞) presi a frequenza
Fs = 1
τ , se Fs ≥ 2fmax. La frequenza 2fmax è detta tasso di Nyquist.
Dimostrazione. Sia F (ω) la trasformata di Fourier di f(t). Poiché f(t) ha come limite di
banda fmax Hz, risulta che F (ω) = 0 per |ω| > 2πfmax rad/sec.
per |ω| > 2πB rad/sec e sia W = 1
2τ Hz, così che W > B per ipotesi. Per quanto
detto, F (ω) è nulla esternamente all’intervallo [−2πW, 2πW ], come mostra la Figura 4.2.
Sia ora Q(ω) la funzione periodica di periodo 4πW che coincide con F (ω) nell’intervallo
F(ω)
−2 π W 2 π W
Figura 4.2 Segnale a banda limitata.
[−2πW, 2πW ] ed il cui grafico è riportato in Figura 4.3.
Risulta evidente che:
F (ω) = rettW (ω)Q(ω),
dove rettW (ω) è la funzione uguale a 1 per |ω| < 2πW , uguale a 0 altrove. Poiché Q(ω)
è una funzione periodica di periodo 4πW , possiamo darne il seguente sviluppo in serie di
ω