Elaborazione Numerica dei Segnali

74 Filtri Analogici
Il comportamento del condensatore è dato da:
U(ω) = 1
iωC I(ω).
Dividendo membro a membro le due uguaglianze precedenti, si ottiene la seguente
funzione di trasferimento H(ω):
H(ω) = U(ω)
V (ω) =
1
.
1 + iRCω − LCω2 Poiché L = R √ e C =
2 √ 2 , si ottiene infine:
Rωc
Risulta quindi:
H(ω) =
1
guadagno: |H(ω)| =
,
4
ω 1 + ωc
√
ω 2 ωc
fase: ∢H(ω) = − arctan 2 .
ω 1 − ωc
1
1 + i √ 2 ω
ωc −
2 ω
3.3.2 Realizzazione di Filtri di Butterworth con Circuiti ad Elementi
Attivi
In questa sezione presentiamo una tecnica per la realizzazione di filtri di Butterworth
analogici mediante circuiti ad elementi attivi, contenenti resistenze, condensatori e amplificatori
operazionali. Il fatto che non sia richiesta alcuna induttanza è un vantaggio
importante nella pratica poiché le induttanza sono voluminose, contengono resistenze e
capacità parassite e dissipano considerevole potenza.
Il metodo può essere facilmente esteso alla costruzione di altri tipi di filtri.
I passi principali possono essere riassunti come segue:
1. Si consideri la funzione di trasferimento del filtro. Nel caso del filtro di Butterworth
di ordine N con frequenza di taglio ωc, essa è
polinomio di Butterworth di ordine N.
ωc
1
BN ( s
ωc ), dove s = iω e BN(z) è il
2. Si decompone BN(z) come prodotto p1(z)·p2(z) · · · pm(z), dove pi(z) è del tipo z +1
oppure z 2 +bz+1, con b reale positivo. In Tabella 3.2 sono riportate le fattorizzazione
dei primo otto polinomi di Butterworth.