Elaborazione Numerica dei Segnali

56 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
Nel caso della modulazione in frequenza a banda larga, si può osservare che le funzioni
cos(β sin W t) e sin(β sin W t) sono funzioni periodiche di periodo T = 2π/W . Esse
possono essere espanse in serie di Fourier ed approssimate restringendo la serie alle componenti
armoniche più significative. Osservando che cos(β sin W t) è una funzione pari e
che sin(β sin W t) è una funzione dispari, si ha:
cos(β sin W t) = J0(β) +
sin(β sin W t) =
n≤1, n dispari
n≤2, n pari
Jn(β) cos(nW t),
Jn(β) cos(nW t),
dove i coefficienti Jn(β), dipendenti da β, sono:
Jn(β) = 1
π
e
2π −π
i(β sin t−nt) dt.
Le funzioni Jn(β), dette funzioni di Bessel di prima specie, sono ben studiate per il
loro interesse in fisica-matematica. Fissato β ≫ 1, è in particolare noto che Jn(β) ≈ 0 per
n > β: la componente armonica di maggior frequenza significativamente presente nelle
espansioni in serie di cos(β sin W t) e sin(β sin W t) si ha in corrispondenza di n = β, ed
è quindi cos(βW t), con frequenza M = βW = ∆ω. Questo implica che, se β ≫ 1, la
larghezza di banda del segnale modulato è 2∆ω, in accordo con la regola di Carson.
2.9.2 Demodulazione di Segnali Modulati in Frequenza
La frequenza istantanea del segnale ottenuto modulando in frequenza f(t) è data da:
ωi(t) = ω0 + ∆ωf(t).
In altre parole, la frequenza istantanea coincide con f(t), a meno di una traslazione e di
un fattore di scala.
Per demodulare in frequenza è quindi sufficiente costruire un sistema che, avendo in
ingresso un segnale del tipo cos m(t), dà in uscita la sua frequenza istantanea ωi(t) =
d
dt m(t).
Sistemi con questo tipo di comportamento sono detti discriminatori di frequenza: in
Figura 2.20 viene mostrato il processo di modulazione, trasmissione e demodulazione in
frequenza.
In linea di principio, per ottenere un discriminatore di frequenza si può considerare
il sistema differenziatore che, avendo in ingresso il segnale m(t), dà in uscita il segnale
d
dt m(t).
Ponendo in ingresso a tale sistema il segnale modulato
A cos ω0t + ∆ω
t
0
f(τ)dτ ,