Elaborazione Numerica dei Segnali

48 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
Per determinare la corrispondente risposta all’impulso è richiesta la trasformata inversa
di H(ω). Questo può essere fatto mediante l’impiego della tecnica di espansione
in frazioni parziali. Come primo passo fattorizziamo il denominatore scrivendolo nella
forma:
H(ω) =
iω + 2
. (2.14)
(iω + 1)(iω + 3)
Poichè le due radici sono distinte e di molteplicità uno 1 , espandiamo H(ω) nella somma
di funzioni razionali più semplici (frazioni parziali):
H(ω) =
A1 A2
+ . (2.15)
(iω + 1) (iω + 3)
Il problema ora è quello di determinare le costanti A1 e A2. Un semplice metodo è
offerto dalla seguente procedura: supponiamo di voler calcolare la costante A1, allora
moltiplicando entrambi i membri della (2.15) per (iω + 1) otteniamo
(iω + 1)H(ω) = A1 + A2(iω + 1)
.
iω + 3
Valutando l’equazione precedente in iω = −1 si ha che
A1 = (iω + 1)H(ω)| iω=−1
da cui, sostituendo H(ω) con la (2.14), sia ricava che
iω + 2
A1 = =
iω + 3
1
2 .
Analogamente si trova che A2 = 1
2 , da cui
H(ω) =
iω=−1
1
2
iω + 1 +
1
2 .
iω + 3
(2.16)
Dall’Esempio 2.5.2 sappiamo riconoscere la trasformata inversa di ciascuno dei due
termini della (2.16), ottenendo il seguente risultato:
h(t) = 1
2 e−t u(t) + 1
2 e−3t u(t).
Il rapporto ingresso-uscita del sistema causale descritto dall’equazione differenziale qui
considerata risulta quindi:
g(t) =
+∞
0
( 1
2 e−τ + 1
2 e−3τ )f(t − τ)dτ.
1
Qualora una radice, che chiamiamo q, sia di molteplicità s > 1, verrà espansa come la somma di s
funzioni razionali nel seguente modo: A11 A12 + (iω+q) (iω+q) 2 + · · · + A1s
(iω+q) s .