Elaborazione Numerica dei Segnali

2.7. Risposta in Frequenza dei Sistemi Lineari Tempo-Invarianti 47
Poiché in generale un’equazione differenziale ammette infinite soluzioni, occorre dare
delle condizioni ausiliarie per determinare completamente la relazione ingresso-uscita del
sistema. In particolare, è qui sufficiente assumere che il sistema sia causale, cioè g(t) = 0
per t < t0 se f(t) = 0 quando t < t0.
Vogliamo ora determinare la funzione di trasferimento del sistema descritto dall’equazione
(2.13).
Se si applica la trasformata di Fourier ad entrambi i membri della (2.13) si ottiene
F
Dalla proprietà di linearità:
k=0
N
k=0
ak
d k g(t)
dt k
= F
M
k=0
bk
d k f(t)
dt k
N
dkg(t) akF
dtk M
dkf(t) = bkF
dtk
e dalla proprietà di differenziabilità (Tabella (2.1)), denotando con F (ω) e G(ω) rispettivamente
la trasformata di Fourier di f(t) e f(t), si ha che:
o equivalentemente
N
ak(iω) k G(ω) =
k=0
G(ω) =
M k=0
N k=0
k=0
M
bk(iω) k F (ω),
k=0
bk(iω) k
ak(iω) k F (ω).
Concludiamo che la funzione di trasferimento H(ω) di questo sistema è della forma:
H(ω) =
M k=0
N k=0
bk(iω) k
.
ak(iω) k
Si osservi che la funzione H(ω) è una funzione razionale, cioè un rapporto di polinomi
nella variabile iω. I coefficienti del numeratore sono esattamente i coefficienti del
membro sinistro della (2.13), mentre i coefficienti del denominatore sono esattamente i
coefficienti del membro della (2.13). In questo modo H(ω) può essere facilmente dedotta
dall’equazione differenziale stessa e antitrasformata applicando il metodo delle frazioni
parziali come mostrato nel seguente esempio.
Esempio 2.7.2
Si consideri un sistema LTI caratterizzato dalla seguente equazione differenziale
d2y(t) dx(t)
+ 4dy(t) + 3y(t) = + 2x(t).
dt2 dt dt
Per quanto visto in precedenza la risposta in frequenza del sistema è:
H(ω) =
iω + 2
(iω) 2 + 4(iω) + 3 .
.