Elaborazione Numerica dei Segnali

46 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
funzione di trasferimento. Per fissare le idee, consideriamo qui un filtro passa-basso con
funzione di trasferimento H(ω) dove:
1, |ω| < ωc
H(ω) =
.
0, |ω| > ωc
Come ricavato nell’esempio 2.5.8, l’antitrasformata di Fourier di H(ω), e quindi la risposta
all’impulso di tale sistema, è la funzione
il cui grafico è dato in Figura 2.12.
ω c
π
h(t) =
h(t)
sin ωct
,
πt
Figura 2.12 Risposta all’impulso di un filtro passa-basso ideale.
Si osserva che h(t) è in generale diversa da zero per t < 0 e quindi il filtro ideale è un
sistema lineare tempo-invariante ma non causale. Questo significa che un filtro ideale non
può essere realizzato in pratica se si intende mantenere un qualche principio di causalità;
l’approssimazione di filtri ideali con filtri fisicamente realizzabili sarà studiata in seguito.
2.7.2 Sistemi Caratterizzati da Equazioni Differenziali Lineari a Coefficienti
Costanti
Un’importante classe di sistemi LTI è quella in cui l’ingresso f(t) e l’uscita g(t) soddisfano
un’equazione differenziale lineare a coefficienti costanti della forma:
N
k=0
d
ak
kg(t) dtk =
ω c
π
M
k=0
ω c
π
t
d
bk
kf(t) dtk . (2.13)
Si osservi che il sistema presentato nell’Esempio 1.3.2 corrisponde al caso particolare in
cui N = 1 e M = 0; come vedremo in seguito, circuiti ottenuti con resistenze, induttanze
e condensatori realizzano sistemi i cui comportamenti sono descritti dall’equazione
differenziale (2.13).