Elaborazione Numerica dei Segnali

2.7. Risposta in Frequenza dei Sistemi Lineari Tempo-Invarianti 45
evidenziate in questi esempi sono quindi due: la banda che interessa preservare effettivamente
(banda passante) e la banda nella quale si richiede l’eliminazione (banda proibita).
Modulo e fase di filtri passa-alto e passa-banda sono mostrati in Figura 2.11.
−ω c
H( ω)
Esempio 2.7.1
0
H( ω)
ω c
ω
H( ω)
H( ω)
−ω −ω
2 0 ω ω ω
1
1
2
Figura 2.11 Risposta in frequenza di filtri passa-alto e passa-banda.
Ricostruzione di due segnali a partire dalla loro somma.
Fissati due segnali f1(t) e f2(t), si vuole ricostruire f1(t) o f2(t) conoscendo la loro
somma f(t) = f1(t) + f2(t). Questo non è in generale possibile, poiché la conoscenza
della somma non permette di individuare univocamente gli addendi. La ricostruzione
è tuttavia possibile in certi casi particolari.
Supponiamo qui che i supporti delle trasformate F1(ω) e F2(ω) dei segnali f1(t) e
f2(t) siano disgiunti. Per esempio, consideriamo il caso in cui F1(ω) = 0 per ω > W1
e F2(ω) = 0 per ω < W2, con W1 < W2 (considerando solo valori non negativi
delle frequenze). Applicando al segnale somma f(t) un filtro ideale passa-basso con
frequenza di taglio W1, si ottiene in uscita il segnale f1(t). Infatti, se la funzione di
trasferimento del filtro è
H(ω) =
1, |ω| < W1
,
0, |ω| > W1
la trasformata di Fourier G(ω) dell’uscita è tale che:
G(ω) = H(ω)F (ω).
Ricordando che per ω ≤ W1 risulta F (ω) = F1(ω) e H(ω) = 1, mentre per ω > W1
risulta H(ω) = 0 si ottiene:
G(ω) = F1(ω).
Antitrasformando, concludiamo che il filtro produce il segnale f1(t).
Per studiare il comportamento di un filtro ideale nel dominio del tempo, basta osservare
che la risposta h(t) del filtro all’impulso δ(t) è l’antitrasformata di Fourier della sua