Elaborazione Numerica dei Segnali

2.7. Risposta in Frequenza dei Sistemi Lineari Tempo-Invarianti 43
L’energia E(f) di un segnale f(t) su un intervallo finito t1 ≤ t ≤ t2 è definita come
E(f) =
t2
|f(t)| 2 dt,
t1
T
Nel caso in cui limT →+∞ −T |f(t)|2dt < +∞, possiamo concludere che l’energia comp-
lessiva del segnale è
E∞(f) =
+∞
−∞
A causa dell relazione di Parseval risulta dunque:
E∞(f) = 1
2π
+∞
−∞
|f(t)| 2 dt.
|F (ω)| 2 dω.
Possiamo allora attribuire al quadrato del modulo della trasformata di Fourier il seguente
significato: 1
2π |F (ω)|2 dω è il contributo all’energia del segnale offerto dalle sue componenti
con frequenza compresa tra ω e ω + dω.
2.7 Risposta in Frequenza dei Sistemi Lineari Tempo-Invarianti
Nel capitolo precedente abbiamo definito la classe dei sistemi lineari e tempo-invarianti
(LTI), mostrando che il loro comportamento è completamente individuato dalla risposta
del sistema alla funzione impulsiva δ(t).
Infatti (Fatto 1.5) se S è un sistema lineare tempo-invariante, h(t) è la risposta S(δ(t))
del sistema all’impulso δ(t) e g(t) è la risposta S(f(t)) del sistema all’ingresso f(t), allora
∞
g(t) = f(x)h(t − x)dx.
−∞
In altri termini, l’uscita g(t) del sistema S è la convoluzione dell’ingresso f(t) con la
risposta all’impulso h(t). A causa della proprietà di convoluzione riportata in Tabella 2.1,
denotando con F (ω), H(ω) e G(ω) rispettivamente le trasformate di Fourier di f(t), h(t)
e g(t), si ottiene:
G(ω) = H(ω)F (ω).
La trasformata di Fourier H(ω) della risposta h(t) all’impulso è spesso chiamata funzione
di trasferimento del sistema. Analizzando il comportamento del sistema nel dominio
delle frequenze anziché nel dominio dei tempi, possiamo concludere:
Fatto 2.2 La risposta nel dominio delle frequenze G(ω) di un sistema LTI con funzione
di trasferimento H(ω) è il prodotto della trasformata di Fourier F (ω) dell’ingresso per la
funzione di trasferimento H(ω).
Osserviamo in particolare che |G(ω)| = |H(ω)||F (ω)|: i sistemi lineari tempo-invarianti
sono quindi in grado di operare una certa selezione sulle frequenze, ampliando o attenuando
in uscita le componenti armoniche dell’ingresso. Per questa attitudine a “filtrare”
componenti in frequenza, i sistemi LTI sono anche detti filtri lineari.