Elaborazione Numerica dei Segnali

2.6. Energia di un Segnale e Relazione di Parseval 41
F( ω)
A
-W W ω
t
f(t)
(a) (b)
AW/π
Figura 2.9 Impulso rettangolare nel dominio della frequenza.
2.5.4 Coppie Base di Trasformate
Nella Tabella 2.2 vengono riportate alcune coppie base trasformata-antitrasformata di
Fourier che spesso si incontrano nella pratica. Queste coppie sono particolarmente utili
per il fatto che in molti casi i sistemi complessi possono essere descritti come combinazioni
di sistemi più semplici dei quali sono note le coppie di trasformate.
2.6 Energia di un Segnale e Relazione di Parseval
Un’importante proprietà della trasformata di Fourier è data dal seguente:
Fatto 2.1 (Teorema di Parseval) Se f(t) è un segnale continuo e F (ω) la sua trasformata
di Fourier, allora:
−∞
+∞
−∞
−∞
|f(t)| 2 dt = 1
2π
−∞
+∞
−∞
|F (ω)| 2 dω. (2.12)
Dimostrazione. La relazione (2.12) segue dalla diretta applicazione della definizione di
trasformata di Fourier. Infatti:
+∞
|f(t)| 2 +∞
+∞ +∞ 1
dt = f(t)f(t)dt = f(t) F (ω)e
2π
−iωt
dω dt.
Invertendo l’ordine di integrazione si ha
+∞
−∞
|f(t)| 2 dt = 1
2π
+∞
−∞
−∞
+∞
F (ω) f(t)e
−∞
−iωt
dt dω.
Il termine tra parentesi quadre è la trasformata di Fourier di f(t), quindi
+∞
−∞
|f(t)| 2 dt = 1
2π
+∞
−∞
|F (ω)| 2 dω.