Elaborazione Numerica dei Segnali

40 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
Pertanto:
t
F f(τ)dτ = F {f(t) ∗ u(t)} (per la (2.11))
−∞
= F (ω) πδ(ω) + 1
iω
=
(per la prop. di convoluzione)
1
F (ω) + πF (0)δ(ω).
iω
Il fattore F (0) nella precedente espressione deriva dal fatto che, se F (ω) è una funzione
continua in 0, allora F (ω)δ(ω) = F (0)δ(ω).
Esempio 2.5.7
La proprietà di linearità è in molti casi utile per trovare la trasformata di Fourier di
alcuni tipi di forme d’onda. Si consideri ad esempio
Usando la relazione di Eulero,
f(t) = B cos ω0t.
cos α = eiα + e −iα
2
possiamo riscrivere l’espressione per f(t) come
f(t) = B iω0 −iω0 e + e
2
= B
2 eiω0 + B
2 eiω0 .
Sapendo che la trasformata dell’esponenziale complesso e iω0 è un impulso traslato in
ω0, per la linearità abbiamo che
od anche
F {B cos ω0t} = B
2 F {eiω0 } + B
2 F {eiω0 } = πBδ(ω − ω0) + πBδ(ω + ω0),
Esempio 2.5.8
cos ω0t F
←→ πB [δ(ω − ω0) + δ(ω + ω0)] .
La trasformata inversa della funzione inpulso rettangolare e definita nel dominio delle
frequenze (Figura 2.9), può essere ottenuta applicando alla coppia di trasformate
dell’Esempio 2.5.3 la proprietà di dualità:
sin W t
f(t) = A
πt
F
←→ F (ω) =
A |ω| < W
0 |ω| > W .