Elaborazione Numerica dei Segnali

38 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
Dualità (simmetria)
Ricordando che:
F {f(t)} = F (ω) =
F −1 {F (ω)} = f(t) = 1
2π
+∞
−∞
+∞
−∞
f(t)e −iωt dt, (2.8)
F (ω)e iωt dω, (2.9)
ed osservando la simmetria esistente tra la trasformata (equazione (2.8)) e la sua inversa
(equazione (2.9)) rispettivamente nella variabile t e nella variabile ω, vale allora:
F {F (t)} =
+∞
= 2π
−∞
1
2π
= 2πf(−ω).
Traslazione nel tempo e in frequenza
Riguardo la traslazione nel tempo si ha che:
F {f(t − t0)} =
=
+∞
−∞
+∞
−∞
f(t − t0)e −iωt dt
F (t)e −iωt dt
+∞
−∞
F (t)e i(−ω)t
dt
f(τ)e −iω(τ+t0) dτ (con τ = t − t0, da cui dt = dτ)
= e −iωt0 F (ω). (2.10)
La proprietà di traslazione in frequenza si verifica facilmente combinando la proprietà
di dualità e quella di traslazione nel tempo.
Convoluzione nel tempo e in frequenza
Per la proprietà di convoluzione nel tempo si ha:
+∞ +∞
F {f(t) ∗ g(t)} =
f(τ)g(t − τ)dτ e −iωt dt (per la (1.1))
=
=
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
= G(ω)
f(τ)
−∞
+∞
−∞
g(t − τ)e −iωt
dt dτ
f(τ)e −iωτ G(ω)dτ (per la traslaz. nel tempo (2.10))
+∞
−∞
= G(ω)F (ω)
f(τ)e −iωτ dτ
La convoluzione in frequenza si giustifica applicando la proprietà di dualità a quella di
convoluzione nel tempo.