Elaborazione Numerica dei Segnali

36 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
Dato un segnale reale f(t) che ammette F (ω) come trasformata, a causa dell’identià
e iωt = cos ωt + i sin ωt, la parte reale Re {F (ω)} e la parte immaginaria Im {F (ω)} sono
rispettivamente:
Re {F (ω)} =
+∞
−∞
f(t) cos(ωt)dt, Im {F (ω)} =
+∞
Poiché la funzione coseno è pari e la funzione seno è dispari, si ha che:
Vale di conseguenza che:
−∞
f(t) sin(ωt)dt.
Re {F (ω)} = Re {F (−ω)} , Im {F (ω)} = − Im {F (−ω)} .
|F (ω)| = |F (−ω)|, ∢F (ω) = −∢F (−ω).
Ne consegue che per funzioni reali il modulo della trasformata |F (ω)| è una funzione pari
e la fase ∢F (ω) è una funzione dispari. In Figura 2.8 è mostrato un tipico esempio del
modulo e della fase della trasformata di una funzione reale (si veda anche l’Esempio 2.5.2).
F( ω )
Figura 2.8 Modulo e fase della trasformata di Fourier di un segnale f(t) reale.
2.5.3 Proprietà della Trasformata di Fourier
Nella Tabella 2.1 vengono riportate (senza dimostrazione) le principali proprietà delle
trasformate di Fourier il cui contributo principale, oltre a favorire in molti casi la semplificazione
dell’analisi di sistemi complessi, è quello di aiutare a comprendere meglio la
relazione tra dominio del tempo e dominio delle frequenze dei segnali.
Di seguito viene proposta la giustificazione di alcune proprietà delle trasformate e ne
viene mostrato l’impiego in alcuni esempi, rimandando a una letteratura più specializzata
le dimostrazioni matematiche formali.
F( ω)
ω