Elaborazione Numerica dei Segnali

2.5. Trasformata di Fourier 35
Anche in questo caso la funzione non è assolutamente integrabile, quindi occorre
trovare un diverso metodo di integrazione per calcolarne la trasformata. A tal riguardo
si consideri la seguente uguaglianza di facile verifica:
sgn(t) = lim
a→0 e −a|t| sgn(t).
La sua trasformata di Fourier risulta pertanto essere:
F {sgn(t)} = F lim
a→0 e−a|t|
sgn(t) = limF
e
a→0 −a|t|
sgn(t) ,
in cui l’operazione di limite e di integrazione sono stati scambiati senza dare una
giustificazione matematica precisa. Poiché:
F
e −a|t|
sgn(t) = −
0
−∞
Possiamo quindi concludere che:
Esempio 2.5.6
e (a−iω)t dt +
∞
0
e −(a+iω)t dt = − 1 1
+
a − iω a + iω ,
F {sgn(t)} = lim −
a→0 1 1 2
+ = . (2.7)
a − iω a + iω iω
Un’altra importante funzione, legata alla funzione signum da una semplice trasformazione,
è la funzione gradino unitario u(t), definita nell’Esempio 1.3.15. Infatti essa
può essere scritta come:
u(t) = 1 1
+
2 2 sgn(t),
da cui otteniamo la sua trasformata di Fourier:
F {u(t)} = 1
2
1
F {1} + F {sgn(t)} (per la linearità)
2
= πδ(ω) + 1
iω .
2.5.2 Trasformata di Fourier di Funzioni Reali
La trasformata di Fourier F (ω) di un segnale reale f(t) è in generale complessa. Come
mostrato nell’esempio 2.5.2, per visualizzare graficamente F (ω) è allora necessario considerare
separatamente il modulo |F (ω)| e la fase ∢F (ω) della trasformata, le cui espressioni
analitiche sono mostrate di seguito:
|F (ω)| = (Re {F (ω)}) 2 + (Im {F (ω)}) 2 ,
∢F (ω) = arctan
Im {F (ω)}
.
Re {F (ω)}