Elaborazione Numerica dei Segnali

2.5. Trasformata di Fourier 33
con T1 reale e positivo, come mostrato in Figura 2.7(a). La trasformata di Fourier di
questo segnale è la funzione reale
F (ω) =
T1
−T1
e −iωt dt = 2
sin ωT1
,
ω
ed il suo grafico è mostrato in Figura 2.7(b). Si osservi che in questo caso la fase è 0.
−T 1
rect
T (t)
1
T 1
2T 1
F( ω)
t ω
π π
(a) (b)
Figura 2.7 Il segnale impulso rettangolare (a) e la sua trasformata di Fourier (b).
2.5.1 Esistenza della Trasformata di Fourier
Nella sezione precedente abbiamo ottenuto l’equazione generale della trasformata di Fourier
e della sua inversa; qui ci proponiamo di discutere brevemente sotto quali condizioni
tale trasformata esiste.
In generale, perchè la trasformata di una data funzione f(t) esista, deve esistere ed
essere finito per ogni t il valore:
+∞
−∞
f(t)e −iωt dt.
Un insieme di condizioni sufficienti per l’esistenza della trasformata di Fourier è dato
dalle cosiddette condizioni di Dirichlet, elencate di seguito:
1. f(t) deve essere assolutamente integrabile, cioè
+∞
−∞
|f(t)|dt < ∞;
2. f(t) deve avere un numero finito di minimi e di massimi in ogni intervallo finito;
T 1
T 1