Elaborazione Numerica dei Segnali

32 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
La rappresentazione per f(t) data nella (2.5) gioca per i segnali aperiodici un ruolo
analogo alla rappresentazione data nella (2.2) per quelli periodici, poiché entrambe esprimono
il segnale come combinazione lineare di esponenziali complessi. Per i segnali
periodici, questi esponenziali complessi sono pesati con “ampiezza” cn e sono definiti per
valori discreti di frequenze nω0, n = 0, ±1, ±2, . . . . Per segnali aperiodici, gli esponenziali
complessi sono definiti su un continuo delle frequenze e sono pesati con “ampiezza” pari
a F (ω)dω/2π.
Esempio 2.5.2
Si consideri il segnale
0
f(t) = e −at u(t), a > 0.
Dalla (2.5) si ha che la trasformata di Fourier di f(t) è
+∞
F (ω) = e −at e −iωt dt = − 1
a + iω e−(a+iω)t
∞
=
1
, a > 0.
a + iω
Poiché questa trasformata è a valori complessi, F (ω) può essere rappresentata mediante
due grafici, rispettivamente del suo modulo e della sua fase, (Figura 2.6), in cui
modulo e fase sono dati da:
|F (ω)| =
1
ω
√ , ∢F (ω) = − arctan
a2 + ω2 a .
F( ω )
F( ω)
1/a
-a a
ω
Figura 2.6 Modulo e fase della trasformata di Fourier di f(t) = e −at u(t), a > 0.
Esempio 2.5.3
Si consideri il segnale impulso rettangolare
1 se |t| < T1
rectT1(t) =
,
0 se |t| > T1
0
-a
−π/4
π/2
π/4
a
−π/2
ω