Elaborazione Numerica dei Segnali

2.5. Trasformata di Fourier 31
Passando al limite, per T → +∞ e quindi per ∆ωn → 0:
f(t) = lim
T →+∞ fT (t) = 1
2π
Posto F (ω) = cn, concludiamo
f(t) = 1
2π
+∞
−∞
+∞
−∞
cne iωt dω dove cn =
F (ω)e iωt dω, dove F (ω) =
+∞
−∞
+∞
−∞
f(t)e −iωt dt
f(t)e −iωt dt. (2.5)
La coppia di funzioni F (ω) e f(t) date nella (2.5) vengono chiamate rispettivamente
trasformata di Fourier e antitrasformata di Fourier (o trasformata inversa di Fourier), e
vengono denotate rispettivamente con F {f(t)} e F −1 {F (ω)}. Inoltre la (2.5) mostra che
la corrispondenza f(t) F
←→ F (ω) è una corrispondenza biunivoca e lineare.
La trasformata di Fourier F (ω) viene anche chiamata spettro del segnale f(t); lo spettro
del segnale è quindi individuato dal suo modulo |F (ω)| e dalla sua fase ∢F (ω) . Il supporto
dello spettro F (ω) è dato dall’insieme {ω : F (ω) = 0}; osserviamo che segnali i cui spettri
hanno supporti disgiunti sono univocamente ricostruibili dalla loro somma, come mostrato
chiaramente in Figura 2.5.
| G( ω ) + F( ω)
|
| G( ω)
|
Figura 2.5 Segnali aventi spettri disgiunti.
| F( ω) |
Risultano inoltre di particolare interesse segnali a supporto limitato, detti anche a
banda limitata: un segnale f(t) è detto a banda limitata dalla frequenza W se per |ω| > W
risulta F (ω) = 0.
Esempio 2.5.1
I segnali utilizzati in una normale conversazione telefonica possono essere ritenuti a
banda limitata a 4kHz.
ω