Elaborazione Numerica dei Segnali

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30 Analisi in Frequenza di <strong>Segnali</strong> Analogici -1 -1 1 1 S (t) S (t) 3 7 S (t) 25 1 1 t t Figura 2.4 . -1 -1 1 1 S (t) 201 Come si nota dalla figura, esiste un valore δ > 0 tale che, per ogni N: sup |S(t) − SN(t)| ≥ δ. −π
2.5. Trasformata di Fourier 31 Passando al limite, per T → +∞ e quindi per ∆ωn → 0: f(t) = lim T →+∞ fT (t) = 1 2π Posto F (ω) = cn, concludiamo f(t) = 1 2π +∞ −∞ +∞ −∞ cne iωt dω dove cn = F (ω)e iωt dω, dove F (ω) = +∞ −∞ +∞ −∞ f(t)e −iωt dt f(t)e −iωt dt. (2.5) La coppia di funzioni F (ω) e f(t) date nella (2.5) vengono chiamate rispettivamente trasformata di Fourier e antitrasformata di Fourier (o trasformata inversa di Fourier), e vengono denotate rispettivamente con F {f(t)} e F −1 {F (ω)}. Inoltre la (2.5) mostra che la corrispondenza f(t) F ←→ F (ω) è una corrispondenza biunivoca e lineare. La trasformata di Fourier F (ω) viene anche chiamata spettro del segnale f(t); lo spettro del segnale è quindi individuato dal suo modulo |F (ω)| e dalla sua fase ∢F (ω) . Il supporto dello spettro F (ω) è dato dall’insieme {ω : F (ω) = 0}; osserviamo che segnali i cui spettri hanno supporti disgiunti sono univocamente ricostruibili dalla loro somma, come mostrato chiaramente in Figura 2.5. | G( ω ) + F( ω) | | G( ω) | Figura 2.5 <strong>Segnali</strong> aventi spettri disgiunti. | F( ω) | Risultano inoltre di particolare interesse segnali a supporto limitato, detti anche a banda limitata: un segnale f(t) è detto a banda limitata dalla frequenza W se per |ω| > W risulta F (ω) = 0. Esempio 2.5.1 I segnali utilizzati in una normale conversazione telefonica possono essere ritenuti a banda limitata a 4kHz. ω
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