Elaborazione Numerica dei Segnali

2.4. Serie di Fourier 29
-T -T/2
T/2
-T 1
f(t)
... ...
T1
Figura 2.3 Onda quadra periodica.
La sua frequenza è ω0 = 2π/T . Per determinare i coefficienti della serie di Fourier
di f(t) consideriamo l’intervallo −T/2 ≤ t ≤ T/2 ed eseguiamo l’integrazione come
indicato nella (2.2). Per n = 0 abbiamo
Per n = 0 invece otteniamo
cn = 1
T
T1
−T1
c0 = 1
T
e −inω0t dt = − 1
= 1 1 inω0T1 −inω0T1 e − e
nω0T i
= 2 sin(nω0T1)
nω0T
= sin(nω0T1)
nπ
T1
−T1
inω0T e−inω0t
dt = 2T1
T .
T1
−T1
T
(usando la relazione ω0T = 2π).
Un problema interessante che si pone a questo punto, con ricaduta in particolare sul
piano applicativo, è quello di approssimare una funzione periodica f(t) con un numero
finito di componenti armoniche, cioè con la somma parziale:
SN(t) =
N
n=−N
cne inω0t ,
dove i cn sono coefficienti dell’espansione in serie di Fourier di f(t). Lo studio della qualità
dell’approssimazione è ridotto allora allo studio della convergenza nelle serie di Fourier.
Senza fare una trattazione matematica rigorosa, diremo semplicemente che un fenomeno
studiato in questa teoria (noto come fenomeno di Gibbs) è quello per cui in certi casi (presenza
di discontinuità), la successione delle somme parziali converge in ogni punto, ma
non uniformemente. Ad esempio, nella Figura 2.4 viene illustrata la convergenza alla serie
S(t) = +∞
n=−∞ rneint , dove S(t) è una funzione periodica di periodo 2π definita come:
1, se |t| < 1
S(t) =
0, se 1 < |t| < π.
t