Elaborazione Numerica dei Segnali

28 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
L’equazione (2.3) è nota come forma trigonometrica combinata della serie di Fourier.
Un’altra forma utile è ottenuta riscrivendo cn in forma algebrica
cn = an + ibn
con an e bn reali. Ricordando che cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β, la (2.3) assume la
forma
∞
f(t) = c0 + 2 [an cos(nω0t) − bn sin(nω0t)] . (2.4)
n=1
L’equazione (2.4) rappresenta la serie di Fourier in forma trigonometrica e coincide con la
formulazione originale di Fourier che scrisse per l’appunto in termini di somme di seni e
coseni.
Esempio 2.4.1
Si consideri il seguente segnale periodico di periodo T = 2π
ω0 :
f(t) = 10 + 3 cos ω0t + 5 cos(2ω0t + π
) + 4 sin 3ω0t.
6
Sostituendo i seni e i coseni con le esponenziali complesse:
f(t) = 10 + 3 iω0t −iω0t
e + e
2
+ 5
π i(2ω0t+
e 6
2
) π
−i(2ω0t+
+ e 6 )
+ 4 i3ω0t −i3ω0t
e − e
2i
o, equivalentemente:
f(t) = 10 + 3
2 eiω0t + 3
2 e−iω0t + 5
2
ei π
6 e i2ω0t + 5 π
e−i 6 e
2 −i2ω0t − 2ie i3ω0t + 2ie −i3ω0t
I coefficienti della serie di Fourier per il segnale f(t) sono dunque:
c0 = 10, c1 = c−1 = 3
2 , c2 = 5
c−2 =
√
3
2 2 5
√
3
− i1 ,
2 2 2
c3 = −c−3 = −2i.
Tutti gli altri coefficienti risultano nulli.
Esempio 2.4.2
+ i1
2
Dato T1 < T
2 si consideri l’onda quadra QT1 periodica di periodo T definita come
segue:
QT1(t) =
il cui grafico è rappresentato nella Figura 2.3.
1 se |t| < T1
0 se T1 < |t| < T/2,
,