Elaborazione Numerica dei Segnali

2.4. Serie di Fourier 27
questa sezione esploriamo una rappresentazione alternativa (ristretta qui a segnali periodici
ed estesa a quelli non periodici nella prossima sezione) basata sulla combinazione
lineare di segnali esponenziali complessi.
A tal proposito si considerino le funzioni
e inω0t = e in 2π
T t , n = 0, ±1, ±2, . . . ,
aventi come frequenza fondamentale nω0 e quindi con periodo T = 2π . Sotto condizioni
nω0
di regolarità (note come condizioni di Dirichlet) che sono verificate per la maggior parte
dei segnali di interesse pratico, è possibile mostrare che una funzione f(t) periodica di
periodo T , può essere ottenuta combinando linearmente le funzioni einω0t (−∞ < n < ∞):
f(t) =
+∞
n=−∞
cne inω0t , dove cn = 1
T
T
2
− T
2
f(t)e −inω0t dt. (2.2)
La serie precedente è detta sviluppo in serie di Fourier di f(t) e il coefficiente cn è detto
coefficiente di Fourier; i termini corrispondenti a n = ±1, entrambi con frequenza ω0, sono
detti prime armoniche, quelli corrispondenti a n = ±k sono detti k-esime armoniche. Si
f(t)dt è la media temporale del segnale relativo a un periodo.
osservi che c0 = 1
T
T/2
T/2
Presentiamo ora alcune forme alternative per la serie di Fourier, utili soprattutto per
segnali f(t) a valori reali. Se f(t) è reale, il coefficiente generale cn è complesso ed è
uguale al coniugato di c−n, cioè cn = c−n. Questo fatto ci consente di derivare una forma
alternativa della serie di Fourier che spesso sostituisce quella espressa dall’equazione (2.2).
Infatti, riarrangiando la somma nella (2.2) e sostituendo c−n con cn otteniamo:
f(t) = c0 +
= c0 +
= c0 +
= c0 +
∞
n=1
∞
n=1
∞
n=1
cne inω0t −inω0t
+ c−ne
cne inω0t −inω0t
+ cne
cne inω0t
+ cneinω0t
∞
2 Re cne inω0t .
n=1
Se esprimiamo cn in forma polare come cn = rne iθn , la precedente equazione diventa:
f(t) = c0 +
∞
n=1
i(nω0t+θn)
2 Re rne = c0 + 2
∞
rn cos(nω0t + θn). (2.3)
n=1