Elaborazione Numerica dei Segnali

26 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
2.3 Segnali Esponenziali Complessi e Risposta in Frequenza
dei Sistemi LTI
Un’importante classe di segnali complessi è data dalla famiglia:
e iωt : ω ∈ R .
Il segnale eiωt è periodico con frequenza ω rad/sec o ω
2π Hz; il suo modulo è uguale a 1
e la fase è uguale a ωt. Anche se il segnale eiωt non ha diretto significato fisico, i segnali
reali sin t e cos t possono essere ottenuti da semplici combinazioni lineari di eiωt e e−iωt :
cos ωt = 1 iωt −iωt
e + e
2
, sin ωt = 1 iωt −iωt
e − e
2i
.
L’importanza delle funzioni esponenziali complesse nello studio dei sistemi LTI risiede
nel fatto che la risposta di un sistema LTI sollecitato da questo tipo di segnale è lo stesso
esponenziale complesso variato in ampiezza, cioè:
e iωt −→ H(ω)e iωt
dove il fattore H(ω) è in generale una funzione complessa nella variabile ω.
Per provare questa proprietà si consideri un sistema LTI con risposta all’impulso
h(t). Per ogni ingresso f(t) possiamo determinare l’uscita mediante l’uso dell’integrale
di convoluzione; quindi se f(t) = e iωt avremo che l’uscita y(t) è:
y(t) =
+∞
−∞
h(τ)f(t − τ)dτ =
+∞
h(τ)e
−∞
iω(t−τ) dτ = e iωt
+∞
−∞
h(τ)e −iωτ dτ.
Assumendo che l’integrale sia definito, la risposta del sistema all’ingresso e iωt è dunque
della forma
y(t) = H(ω)e iωt
dove
H(ω) =
+∞
−∞
h(τ)e −iωτ dτ. (2.1)
La funzione H(ω), che compare nell’equazione (2.1), viene chiamata risposta in frequenza
o funzione di trasferimento del sistema.
Come vedremo di seguito, H(ω) è la trasformata di Fourier della risposta all’impulso
h(t), il che mostra l’interesse dello studio della trasformata di Fourier per l’analisi dei
sistemi LTI.
2.4 Serie di Fourier
Nel precedente capitolo abbiamo introdotto, nell’ambito dello studio di sistemi LTI, la rappresentazione
di segnali come combinazione lineare di impulsi opportunamente traslati. In