Elaborazione Numerica dei Segnali

22 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici
complessi: poiché i numeri reali sono un sottocampo dei complessi, potremo trattare i
segnali reali come opportune restrizioni.
Il capitolo è suddiviso come segue. Viene richiamata brevemente la nozione di numero
complesso e le principali operazioni su tali numeri. Viene poi introdotta la classe dei
segnali periodici e discussa la loro espansione in serie di Fourier. Questo approccio viene
esteso a segnali non periodici, definendo la trasformata di Fourier e studiandone alcune
proprietà che rendono semplice la manipolazione di questo strumento.
I concetti matematici esposti vengono poi applicati all’analisi della risposta in frequenza
di sistemi LTI a tempo continuo, introducendo la nozione di funzione di trasferimento.
Si analizzano in particolare i filtri ideali, introducendo la terminologia relativa ed evidenziandone
la non causalità. Vengono quindi trattate problematiche di analisi relative alla
classe dei sistemi causali descritti da equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti;
questi sistemi sono particolarmente interessanti perché descrivono il comportamento di
circuiti a componenti passive utilizzati per la realizzazione pratica di filtri analogici.
L’ultima parte del capitolo è dedicata allo studio della modulazione di ampiezza (AM)
e frequenza (FM), di grande interesse per la trasmissione di segnali a tempo continuo.
2.1 Numeri Complessi
Richiamiamo qui brevemente la nozione di numero complesso. Un numero complesso z è
identificato da una coppia di numeri reali (a, b); si scrive solitamente z = a+ib, chiamando
i = √ −1 unità immaginaria, a = Re {z} parte reale e b = Im {z} parte immaginaria di z.
Le operazioni di addizione e moltiplicazione di due numeri complessi z e w sono definite
nel modo seguente:
somma: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d),
prodotto: (a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Rispetto a tali operazioni i numeri complessi formano un campo; in particolare si verifica
direttamente che l’inverso rispetto alla moltiplicazione è dato da:
(a + ib) −1 =
a
a 2 + b
2 − i
b
a2 .
+ b2 Il sottocampo di numeri complessi della forma (a, 0) (cioè tutti quelli che hanno parte
immaginaria 0) è isomorfo al campo reale R.
Poiché un numero complesso z = (a, b) è una coppia ordinata di numeri reali, esso può
essere rappresentato geometricamente come un punto di un piano. Descrivendo tale punto
in coordinate polari (r, θ), come mostrato in Figura 2.1, si ricava la forma trigonometrica
di un numero complesso:
z = r(cos θ + i sin θ).