Elaborazione Numerica dei Segnali

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20 Segnali e Sistemi un sistema S è stabile (o BIBO, cioè Bounded Input Bounded Output) se trasforma segnali limitati in segnali limitati. I sistemi lineari tempo-invarianti stabili sono caratterizzati da una semplice proprietà della risposta all’impulso: Fatto 1.7 Un sistema lineare tempo-invariante S è stabile sse, detta h(t) la risposta di S all’impulso, vale che: +∞ −∞ |h(t)|dt < +∞. Dimostrazione. Supponiamo, per prima cosa, che +∞ −∞ |h(t)|dt < +∞ e dimostriamo che il sistema è stabile. Se f(t) è limitata, cioè esiste M > 0 tale che |f(t)| < M per ogni t, allora l’uscita del sistema su ingresso f(t) è il segnale g(t) tale che: +∞ |g(t)| = h(τ)f(t − τ)dτ ≤ +∞ +∞ |h(τ)||f(t − τ)|dτ ≤ M |h(τ)|dτ. −∞ −∞ Questo implica che g(t) è limitato e quindi il sistema è stabile. Supponiamo ora che +∞ −∞ |h(t)|dt = +∞ e dimostriamo che il sistema non è stabile. Se poniamo infatti in ingresso al sistema il segnale f(t) = sgn(h(−t)) chiaramente limitato, l’uscita g(t) è tale che: g(0) = +∞ −∞ h(τ)f(−τ)dτ = Il sistema non risulta quindi stabile. +∞ −∞ h(τ) sgn(h(τ))dτ = +∞ −∞ −∞ |h(τ)|dτ = +∞. Per sistemi LTI che operano su segnali a tempo discreto vale un risultato analogo: Fatto 1.8 Un sistema LTI è stabile sse la risposta h(n) all’impulso unitario è tale che |h(n)| < +∞. +∞ n=−∞ Poichè la risposta all’impulso h(n) di un filtro FIR causale è tale che h(n) = 0 se n < 0 e n ≥ q risulta: +∞ q−1 |h(n)| = |h(n)| < +∞, n=−∞ n=0 si può concludere che i filtri FIR sono sistemi sempre stabili.
Capitolo 2 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici Per lo studio dei sistemi lineari può essere utile un cambiamento di rappresentazione del segnale: invece di esprimere il segnale f(t) come sovrapposizione di impulsi (f(t) = +∞ f(x)δ(t − x)dx) lo si rappresenta come sovrapposizione di altri segnali-base (f(t) = −∞ +∞ −∞ a(x)H(t, x)dx, dove H(t, x) sono da scegliere in modo opportuno). Una base particolarmente interessante è quella introdotta e studiata da Jean Baptiste Joseph Baron de Fourier, governatore del Basso Egitto sotto Napoleone e autore un monumentale trattato sulla propagazione del calore pubblicato nel 1822. In questo lavoro veniva intodotto il concetto di serie di Fourier; la trasformata di Fourier (o integrale di Fourier) è una semplice estensione della serie che si applica a segnali arbitrari, mentre la serie si applica solo a segnali periodici. Per l’introduzione della trasformata di Fourier è opportuno considerare segnali a valori 21
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