Elaborazione Numerica dei Segnali

20 Segnali e Sistemi
un sistema S è stabile (o BIBO, cioè Bounded Input Bounded Output) se
trasforma segnali limitati in segnali limitati.
I sistemi lineari tempo-invarianti stabili sono caratterizzati da una semplice proprietà della
risposta all’impulso:
Fatto 1.7 Un sistema lineare tempo-invariante S è stabile sse, detta h(t) la risposta di S
all’impulso, vale che:
+∞
−∞
|h(t)|dt < +∞.
Dimostrazione. Supponiamo, per prima cosa, che +∞
−∞ |h(t)|dt < +∞ e dimostriamo che
il sistema è stabile. Se f(t) è limitata, cioè esiste M > 0 tale che |f(t)| < M per ogni t,
allora l’uscita del sistema su ingresso f(t) è il segnale g(t) tale che:
+∞
|g(t)| =
h(τ)f(t − τ)dτ
≤
+∞
+∞
|h(τ)||f(t − τ)|dτ ≤ M |h(τ)|dτ.
−∞
−∞
Questo implica che g(t) è limitato e quindi il sistema è stabile.
Supponiamo ora che +∞
−∞ |h(t)|dt = +∞ e dimostriamo che il sistema non è stabile.
Se poniamo infatti in ingresso al sistema il segnale f(t) = sgn(h(−t)) chiaramente
limitato, l’uscita g(t) è tale che:
g(0) =
+∞
−∞
h(τ)f(−τ)dτ =
Il sistema non risulta quindi stabile.
+∞
−∞
h(τ) sgn(h(τ))dτ =
+∞
−∞
−∞
|h(τ)|dτ = +∞.
Per sistemi LTI che operano su segnali a tempo discreto vale un risultato analogo:
Fatto 1.8 Un sistema LTI è stabile sse la risposta h(n) all’impulso unitario è tale che
|h(n)| < +∞.
+∞
n=−∞
Poichè la risposta all’impulso h(n) di un filtro FIR causale è tale che h(n) = 0 se n < 0 e
n ≥ q risulta:
+∞ q−1
|h(n)| = |h(n)| < +∞,
n=−∞
n=0
si può concludere che i filtri FIR sono sistemi sempre stabili.