Elaborazione Numerica dei Segnali

1.3. Sistemi per l’Elaborazione dei Segnali Deterministici 19
1.3.4 Sistemi Causali e Stabili
Un’importante condizione per la realizzabilità fisica di un sistema per il trattamento di
segnali temporali è che esso sia causale. Intuitivamente,
un sistema si dice causale se ad ogni istante di tempo l’uscita dipende unicamente
dai valori dell’ingresso al tempo presente e ai tempi passati.
Per questo motivo un sistema causale viene anche detto nonanticipativo, nel senso che il
valore della risposta al tempo t non richiede la conoscenza dei valori dell’ingresso a tempi
t ′ > t. Come conseguenza, se due ingressi del sistema sono identici fino ad un certo istante
t0, le corrispondenti uscite devono essere uguali fino a quell’istante.
Con particolare riferimento ai sistemi lineari tempo-invariante, diremo che
un sistema S è causale se la sua risposta h(t) all’impulso è nulla per valori di
t negativi, cioè quando h(t) = 0 per t < 0.
In questo caso il prodotto di convoluzione diventa:
S(f(t)) =
+∞
Se un sistema LTI è causale, allora si può porre:
1. caso continuo:
2. caso discreto:
S(f(t)) =
t
S(x(n)) =
−∞
0
h(x)f(t − x)dx.
∞
f(x)h(t − x)dx = h(x)f(t − x)dx.
n
k=−∞
x(k)h(n − k) =
0
∞
h(k)x(n − k).
Se in aggiunta la risposta all’impulso è finita, cioè h(n) = 0 per n ≥ q per un
opportuno intero q si ha:
q−1
k=0
S(x(n)) = h(k)x(n − k).
k=0
Sistemi del tipo sopra definito sono detti anche filtri FIR (Finite Impulse Response)
e sono essenzialmente descritti dal vettore [h(0), . . . , h(q − 1)].
Un’altra nozione di interesse pratico è quella di stabilità. Ricordiamo che un segnale
a tempo continuo f(t) è detto limitato se esiste M > 0 tale che |f(t)| < M per ogni t.
Allora diremo che