Elaborazione Numerica dei Segnali

18 Segnali e Sistemi
La legge che associa a due segnali a tempo continuo f e h il segnale
+∞
−∞
f(x)h(t − x)dx (1.1)
è detta prodotto di convoluzione di f e h, e si denota f ∗ h.
Analogamente per segnali a tempo discreto x(n) e y(n) la convoluzione è definita da:
(x ∗ y)(n) =
∞
k=−∞
x(k)y(n − k).
I precedenti risultati (Fatto 1.5 e Fatto 1.6), espressi in termini di convoluzione, asseriscono
che la risposta di un sistema LTI a un dato segnale d’ingresso è ottenuta dalla
convoluzione del segnale d’ingresso con la risposta del sistema all’impulso.
Esempio 1.3.16
Sia dato un sistema LTI che ha come risposta all’impulso δ(t) il gradino unitario u(t).
Si vuole determinare la risposta g(t) del sistema all’ingresso f(t), dove:
Per il Fatto 1.5 si ha:
g(t) =
+∞
−∞
f(x)u(t−x)dx =
f(t) = e −at u(t) a > 0,
+∞
−∞
In Figura 1.17 è mostrato il grafico di y(t).
y(t)
1/a
e −ax u(x)u(t−x)dx =
t
0 t
Figura 1.17 Risposta del sistema con input x(t) = e −at u(t).
0
e −at dt = 1
a (1−e−at )u(t).