Elaborazione Numerica dei Segnali

1.3. Sistemi per l’Elaborazione dei Segnali Deterministici 17
Esempio 1.3.14
La modulazione di ampiezza MA data da:
MA(f(t)) = ρ cos(ωt) · f(t).
risulta essere un sistema lineare ma non tempo invariante. Infatti
Esempio 1.3.15
MA(f(t − t0)) = ρ cos(ωt) · f(t − t0) = ρ cos(ω(t − t0)) · f(t − t0).
Si consideri la funzione gradino unitario u(t) definita da
1 se t ≥ 0
u(t) =
0 altrimenti.
Il circuito sogliatore è descritto dal sistema S(f(t)) = u(f(t)). Tale sistema è tempoinvariante
ma non lineare, come si verifica immediatamente.
Se S è un sistema lineare tempo-invariante (LTI), il suo comportamento è completamente
individuato dalla sua risposta alla funzione impulsiva δ(t). Infatti:
Fatto 1.5 Se S è un sistema lineare tempo-invariante, allora
∞
S(f(t)) = f(x)h(t − x)dx,
−∞
dove h(t) è la risposta S(δ(t)) del sistema all’impulso δ(t).
Dimostrazione. Poichè il sistema è lineare vale:
∞
∞
S(f(t)) = S f(x)δ(t − x)dx = f(x)S(δ(t − x))dx.
−∞
−∞
Essendo inoltre tempo-invariante, se h(t) = S(δ(t)) allora h(t − x) = S(δ(t − x)), e quindi
∞
S(f(t)) = f(x)h(t − x)dx.
−∞
Un risultato analogo vale per sistemi a tempo discreto:
Fatto 1.6 Se S è un sistema lineare tempo-invariante, allora
S(x(n)) =
∞
k=−∞
x(k)h(n − k),
dove h(n) è la risposta S(δ(n)) del sistema all’impulso unitario.