Elaborazione Numerica dei Segnali

11.1. Formulazione nel Dominio delle Frequenze 217
dove SYY(ω) = E[G(ω)G ∗ (ω)] è lo spettro di potenza di Y (t) e SXY(ω) = E[F (ω)G ∗ (ω)]
è lo spettro di potenza incrociato di X(t) e Y (t).
Il filtro di Wiener W (ω) che minimizza la funzione dist[G(ω)W (ω), F (ω)] verifica allora:
Possiamo quindi concludere:
W (ω)SYY(ω) − SXY(ω) = 0.
Fatto 11.1 Il filtro di Wiener, che minimizza la distanza nel senso del quadrato dell’errore
tra la risposta a un processo Y (t) e un processo X(t), ha la funzione di trasferimento W (ω):
W (ω) = SXY(ω)
SYY(ω) .
dove SXX(ω) è lo spettro di potenza di X(t) e SXY(ω) lo spettro di potenza incrociato tra
X(t) e Y (t).
Allo scopo di dimostrare la (11.2), richiamiamo brevemente la nozione di derivata
complessa. Se z = a + ib e Z(a, b) = A(a, b) + iB(a, b), allora la derivata complessa di Z
rispetto a z è:
In particolare vale che:
∂z
∂z
= 0,
∂Z
∂z
= ∂Z
∂a
∂z ∗
∂z
= 2,
+ i∂Z
∂b .
∂zz ∗
∂z
= 2z.
∂
Applicando le regole sopra descritte al termine ∂W (ω) dist[G(ω)W (ω), F (ω)], si ottiene:
∂E[e(ω)e ∗ (ω)]
∂W (ω)
=
=
Esempio 11.1.1
∂
∂W (ω) E[(G(ω)W (ω) − F (ω))(G∗ (ω)W ∗ (w) − F ∗ (ω))]
∂
∂W (ω) (W (ω)W ∗ (ω)E[G(w)G ∗ (ω)] − W (ω)E[G(ω)F ∗ (ω)])
= 2W (ω)E[G(ω)G ∗ (ω)] − 2E[F (ω)G ∗ (ω)]
= 2(W (ω)SYY − SXY).
−
∂
∂W (ω) W ∗ (ω)E[G ∗ (ω)F (ω)]
Filtro per la riduzione di rumore additivo. Consideriamo un processo Y (t) ottenuto
contaminando un processo X(t) con rumore additivo N(t), a media 0 e scorrelato da
X(t):
Y (t) = X(t) + N(t).