Elaborazione Numerica dei Segnali

216 Filtri di Wiener
11.1 Formulazione nel Dominio delle Frequenze
In questo paragrafo deriviamo il filtro di Wiener, formulando il problema per sistemi
stazionari a tempo continuo nel dominio delle frequenze.
Il problema può essere posto in questi termini: dati due processi stazionari X(t) e Y (t),
determinare il sistema lineare tempo-invariante S tale che la risposta Z(t) = S(Y (t)) sia
più “vicina possibile” a X(t) (vedi Figura 11.1).
Y (t) ✲ SISTEMA INCOGNITO ✲ Z(t) ≈ X(t)
Figura 11.1
Allo scopo di riformulare il problema nel dominio delle frequenze, si considerano le
trasformate di Fourier F (ω) e G(ω), rispettivamente dei processi stocastici X(t) e Y (t);
indichiamo inoltre con W (ω) la funzione di trasferimento (incognita) del sistema S e con
D(ω) la risposta in frequenza del sistema su ingresso G(ω), così che:
D(ω) = W (w)G(ω).
Fissata una particolare realizzazione del processo Y (t), l’errore e(ω) tra la risposta
D(ω) e il risultato desiderato F (ω), a una data frequenza ω, è:
e(ω) = D(ω) − F (ω).
Una ragionevole nozione di distanza tra i due processi D(ω) e F (ω) è l’aspettazione
del quadrato del modulo dell’errore, a una data frequenza ω:
dist[D(ω), F (ω)] = E[e(ω)e ∗ (ω)].
Il problema può allora essere riformulato come il seguente problema di ottimizzazione:
dati F (ω) e G(ω), per ogni fissato ω determinare W (ω) che minimizza
dist[G(ω)W (ω), F (ω)].
Ricordiamo che la condizione necessaria di minimo è:
dove ∂
∂W (ω)
∂
dist[G(ω)W (ω), F (ω)] = 0, (11.1)
∂W (ω)
è l’operazione di derivata complessa, essendo W (ω) in generale a valori complessi.
Si può calcolare (vedi sotto) che:
∂
∂W (ω) dist[G(ω)W (ω), F (ω)] = 2(W (ω)SYY(ω) − SXY(ω)), (11.2)