Elaborazione Numerica dei Segnali

16 Segnali e Sistemi
Di conseguenza {δ(n − k) : k ∈ Z} risulta una base per segnali a tempo discreto.
Abbiamo visto come il comportamento di un sistema lineare sia univocamente definito
dalla risposta del sistema su una base. Vediamo ora come questo risultato possa essere
specializzato nel caso di sistem lineari per segnali a tempo continuo. Vale il seguente:
Fatto 1.3 Se S è un sistema lineare per segnali a tempo continuo, allora
∞
S(f(t)) = f(x)M(t, x)dx,
dove M(t, x) è la risposta S(δ(t − x)) del sistema all’impulso δ(t − x).
Dimostrazione.
+∞
S(f(t)) = S
−∞
f(x)δ(t − x)dx =
−∞
+∞
−∞
f(x)S(δ(t − x))dx =
+∞
−∞
f(x)M(t, x)dx.
essendo M(t, x) la funzione risposta del sistema S alla funzione impulsiva δ(t − x).
Un risultato analogo vale per segnali a tempo discreto:
Fatto 1.4 Se S è un sistema lineare per segnali a tempo discreto, allora
S(x(n)) =
∞
k=−∞
x(k)M(n, k),
dove M(n, k) è la risposta S(δ(n − k)) del sistema all’impulso unitario al tempo k.
1.3.3 Sistemi Tempo-Invarianti
Un’altra importante classe di sistemi è quella dei sistemi tempo-invarianti, per i quali una
traslazione temporale nel segnale di ingresso produce una identica traslazione temporale
nel segnale di uscita. Più precisamente:
Definizione 1.2 Un sistema S : F1 → F2 è tempo-invariante quando per ogni ingresso
f(t), se g(t) = S(f(t)) allora g(t − t0) = S(f(t − t0)), per ogni t0.
Esempio 1.3.13
Il circuito RC di Figura 1.7 è un esempio di sistema tempo-invariante se i valori di R
e C restano costanti nel tempo; infatti è semplice verificare che per il segnale vi(t−t0)
vale:
dvc(t − t0)
+
dt
1
RC vc(t − t0) = 1
RC vi(t − t0)
Tale sistema è quindi lineare e tempo invariante.