Elaborazione Numerica dei Segnali

10.1. Risposta di Sistemi a Segnali Casuali 207
Per processi stazionari, la funzione di autocorrelazione RYY del processo di uscita è
esprimibile in funzione della funzione di autocorrelazione RXX del processo di ingresso,
come dato in:
Fatto 10.2 Se S è lineare e tempo invariante e X(t) è stazionario, allora la risposta Y (t)
è un processo stazionario e le funzioni di autocorrelazione di X(t) e Y (t) sono legate da:
Dimostrazione.
RYY(τ) =
+∞ +∞
−∞
−∞
RYY(τ) = E[Y (t)Y (t + τ)]
= E
= E
=
=
+∞
−∞
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
−∞ −∞
+∞ +∞
−∞
−∞
X(r, t − u)h(u)du
RXX(τ − s + u)h(s)h(u)duds.
+∞
−∞
X(r, t + τ − s)h(s)ds
X(r, t + τ − s)X(r, t − u)h(u)h(s)duds
E[X(r, t + τ − s)X(r, t − u)]h(u)h(s)duds
RXX(τ − s + u)h(u)h(s)duds.
Poiché in base al risultato precedente la funzione di autocorrelazione dell’uscita Y (t) è
funzione della funzione di autocorrelazione dell’ingresso X(t), lo spettro di potenza di Y
sarà funzione dello spettro di potenza di X(t). In questo caso la dipendenza assume una
forma particolarmente semplice:
Fatto 10.3 Se S è lineare e tempo invariante con funzione di trasferimento H(ω) e X(t)
è stazionario, allora la risposta Y (t) è un processo stazionario e gli spettri di potenza di
X(t) e di Y (t) sono legati da:
Dimostrazione.
SYY(ω) =
=
+∞
SYY(ω) = |H(ω)| 2 SXX(ω).
RYY(t)e −iwt dt
−∞
+∞ +∞ +∞
−∞
−∞
Ponendo z = t − s + u, otteniamo:
SYY(ω) =
+∞
−∞
−∞
e iws h(s)ds
= H ∗ (ω)H(ω)SXX(ω)
= |H(ω)| 2 SXX(ω).
RXX(t − s + u)e −iwt h(u)h(s)dudsdt.
+∞
−∞
e −iwu h(u)du
+∞
−∞
RXX(z)e −iwz dz