Elaborazione Numerica dei Segnali

1.3. Sistemi per l’Elaborazione dei Segnali Deterministici 15
p(t)
∆
1/∆
−∆/2 ∆/2 t
Figura 1.16 Impulso per la generazione della funzione delta di dirac.
Fissato un reale x, la funzione generalizzata δ(t − x) è interpretabile come impulso al
tempo x. Valgono le seguenti proprietà:
∞
−∞
δ(t − x) = 0 se t = x,
δ(t − x)dx = 1.
L’importanza della funzione impulso nasce dal fatto che l’insieme degli impulsi {δ(t −
x) : x ∈ R} rappresenta una “base” per i segnali a tempo continuo. Infatti:
Fatto 1.1 Ogni segnale f(t) può essere espresso come combinazione lineare generalizzata
di impulsi, ovvero
f(t) =
∞
−∞
f(x)δ(t − x)dx.
Il segnale f(t) è ottenibile quindi da una “combinazione lineare generalizzata” di
impulsi δ(t − x), dove il coefficiente moltiplicativo di δ(t − x) è proprio f(x).
Una giustificazione di Fatto 1.1 può essere ottenuta osservando che f(t)δ(t − x) =
f(x)δ(t − x), poichè δ(t − x) = 0 per x = t. Allora:
∞
−∞
f(x)δ(t − x)dx =
∞
−∞
f(t)δ(t − x)dx = f(t)
∞
−∞
δ(t − x)dx = f(t).
Analogamente una base per segnali x(n) a tempo discreto può essere ottenuta considerando
l’impulso unitario δ(n):
1 se n = 0
δ(n) =
0 altrimenti.
poichè δ(n − k) = 1 se n = k e δ(n − k) = 0 se n = k, si verifica direttamente che per
ogni segnale x(n) vale:
Fatto 1.2
x(n) =
∞
k=−∞
x(k)δ(n − k).