Elaborazione Numerica dei Segnali

9.4. Caratteristiche Spettrali dei Processi Stocastici 203
Si opera il cambio di variabili t = p − q , a = q; controllando con accuratezza le regioni
di integrazione si ottiene:
E[|FT (r, ω)| 2 T
] = E
=
=
T
−T −T
T T
−T
0
= 2T
−T
−2T
2T
XT (r, p)XT (r, q)e −iw(p−q)
dpdq
E [XT (r, p)XT (r, q)] e −iw(p−q) dpdq
RXX(t)e −iwt
−2T
RXX(t)e −iwt dt −
T 2T
da dt + RXX(t)e
−T +t
0
−iwt
T −t
da dt
2T
−T
−2T
tRXX(t)e −iwt dt.
Sotto l’assunzione largamente verificata nelle applicazioni che
si arriva a concludere:
SXX(ω) = lim
T →+∞
+∞
−∞
tRXX(t)dt < +∞,
1
2T E[|FT (r, ω)| 2 ] =
+∞
−∞
RXX(t)e −iwt dt.