Elaborazione Numerica dei Segnali

202 Processi Stocastici e loro Caratteristiche Spettrali
A causa del teorema di Parseval si ha:
+∞
−∞
X 2 1
T (r, t)dt =
2π
+∞
−∞
|FT (r, ω)| 2 dω.
Questo fatto permette di ottenere una espressione alternativa per la potenza media PX:
PX = lim
T →∞
= lim
T →∞
1
2T
T
1
2T E
−∞
E[X
−T
2 T (r, t)]dt
T
−T
X 2
T (r, t)dt
1
= lim
T →∞ 2T E
∞ 1
|FT (r, ω)|
2π −∞
2 dω
= 1
∞ 1
lim
2π T →∞ 2T E[|FT (r, ω)| 2 ]dω.
Se chiamiamo SXX(ω) il termine contenuto nel precedente integrale, cioè:
possiamo concludere che:
SXX(ω) = lim
T →∞
1
2T E[|FT (r, ω)| 2 ]
PX = 1
T
SXX(ω)dω.
2π −T
Dalla formula precedente, si vede che SXX(ω)dω è il contributo alla potenza complessiva
PX delle componenti armoniche di frequenza compresa tra ω e ω + dω: per questo motivo
la funzione SXX(ω) è detta densità di potenza o spettro di potenza del processo X(t).
Mostriamo ora che questa definizione di spettro di potenza è consistente con quella data
da noi precedentemente, e cioè di trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione:
Fatto 9.1 Lo spettro di potenza SXX(ω) è la trasformata di Fourier della funzione di
autocorrelazione RXX(t).
Dimostrazione. Indicando con ¯ F il coniugato di F , per definizione si ha:
|FT (r, ω)| 2 = FT (r, ω) ¯ FT (r, ω)
=
=
T
−T
T T
−T
XT (r, p)e −iwp dp
−T
T
−T
XT (r, q)e iwq dq
XT (r, p)XT (r, q)e −iw(p−q) dpdq.