Elaborazione Numerica dei Segnali

198 Processi Stocastici e loro Caratteristiche Spettrali
Il nostro obbiettivo è stimare τ, conoscendo Y1(t) e Y2(t).
Si osservi a tal riguardo che la funzione di cross-correlazione RY1Y2 è:
RY1Y2(t ′′ ) = E[Y1(t)Y2(t + t ′′ )]
= E[(AX(t + t ′ ) + N1(t + t ′ ))(BX(t + t ′′ + t ′ − τ) + N2(t + t ′′ + t ′ − τ))]
= ABE[X(t + t ′ )X(t + t ′′ + t ′ − τ)] + AE[X(t + t ′ )N2(t + t ′′ + t ′ − τ)]
+ BE[N1(t + t ′ )X(t + t ′′ + t ′ − τ)] + E[N1(t + t ′ )N2(t + t ′′ + t ′ − τ)]
= ABRXX(t ′′ − τ) + AE[X]E[N2] + BE[X]E[N1] + E[N1]E[N2]
= ABRXX(t ′′ − τ).
Poiché la funzione di autocorrelazione RXX ha un massimo nell’origine, si può concludere:
τ = arg max RY1Y2(t).
t
9.3 Medie Temporali ed Ergodicità
Come abbiamo precedentemente visto, dato un processo stocastico X(t) è possibile introdurre
il concetto di media temporale:
mx(r) = lim
T →+∞
1
2T
T
−T
X(r, t)dt.
In modo del tutto analogo si definisce la funzione di autocorrelazione temporale:
Rxx(t, t + τ) = lim
T →+∞
1
2T
T
−T
X(r, t)X(r, t + τ)dt.
Supponiamo da ora in poi che il processo X(t) sia stazionario. Si osservi che la media
temporale mx è una variabile aleatoria, così come la funzione di autocorrelazione temporale
Rxx, una volta fissato τ. Possiamo calcolare allora la media di tali variabili aleatorie e,
nell’ipotesi di stazionarietà, si verifica facilmente che:
E[mx] = MX,
E[Rxx] = RXX(τ).
Per molti processi accade inoltre che sia la varianza della media temporale che quella
della funzione di autocorrelazione temporale sono 0:
E[(mx − MX) 2 ] = 0; E[(Rxx − RXX(τ)) 2 ] = 0, per ogni τ.