Elaborazione Numerica dei Segnali

9.2. Processi Stocastici Stazionari 197
Definizione 9.3 Un processo stocastico X(t) è detto stazionario (in senso lato) se la
media e la funzione di autocorrelazione sono tempo invarianti:
E[X(t)] = MX = costante,
E[X(t1)X(t2)] = RXX(t1 − t2), (per ogni t1 e t2).
In un processo stazionario la media di fase risulta quindi indipendente dal tempo,
mentre la autocorrelazione E[X(t1)X(t2)] dipende solo dalla differenza τ = t1 − t2.
Analogamente diremo che due processi stocastici X(t) e Y (t) sono congiuntamente
stazionari (in senso lato) se sono stazionari in senso lato e la funzione di cross-correlazione
è tempo-invariante:
E[X(t)Y (t + τ)] = RXY(τ), (per ogni t e τ).
Per processi stocastici stazionari la funzione di autocorrelazione ha interessanti proprietà:
1. media del quadrato: RXX(0) = E[X 2 (t)],
2. simmetria: RXX(τ) = RXX(−τ),
3. massimo all’origine: RXX(τ) ≤ RXX(0).
Dimostriamo ad esempio la 3.:
0 ≤ E[(X(t) − X 2 (t + τ))] = E[X 2 (t)] − 2E[X(t)X(t + τ)] + E[X 2 (t + τ)]
Esempio 9.2.1
= 2(RXX(0) − RXX(τ)).
In questo esempio si mostra come è possibile effettuare una stima di ritardo temporale.
Consideriamo un segnale X(t) stazionario generato in un punto dello spazio e ricevuto
da due distinti sensori 1 e 2, posti in diverse posizioni note. Il segnale ricevuto dal
sensore i è degradato da rumore additivo Ni (i = 1, 2) a media 0, inoltre X(t), N1(t)
e N2(t) sono scorrelati tra loro. Si vuol stimare il ritardo con cui il segnale viene
ricevuto dai due sensori (cosa che permette ad esempio di determinare la direzione di
provenienza del segnale).
Il sistema è così modellato:
• Il sensore 1 riceve il segnale Y1(t) = AX(t + t ′ ) + N1(t + t ′ ).
• Il sensore 2 riceve il segnale Y2(t) = BX(t + t ′ − τ) + N2(t + t ′ − τ).