Elaborazione Numerica dei Segnali

196 Processi Stocastici e loro Caratteristiche Spettrali
Dati due processi X(t) e Y (t), la funzione di cross-correlazione RXY(t, t ′ ) è data da:
RXY(t, t ′ ) = E[X(t)Y (t ′ )].
Due processi aleatori X(t) e Y (t ′ ) sono detti indipendenti se, per ogni t e t ′ , le variabili
aleatorie X(t) e Y (t ′ ) sono indipendenti; in tal caso risulta:
E[X(t)Y (t ′ )] = E[X(t)]E[Y (t ′ )].
Se vale che, per ogni t e t ′ , E[X(t)Y (t ′ )] = E[X(t)]E[Y (t ′ )], i due processi sono detti
scorrelati; è chiaro che processi indipendenti sono scorrelati, mentre non è in generale vero
il viceversa.
Ricordiamo, infine, due semplici proprietà dell’aspettazione estremamente utili nella
manipolazione di espressioni per il calcolo di medie:
E[aX + bY ] = aE[X] + bE[Y ] (a, b costanti; X, Y variabili aleatorie arbitrarie),
E[XY ] = E[X]E[Y ] (X, Y variabili aleatorie scorrelate).
Esempio 9.1.2
Si consideri un processo Y (t) = X(t)+N(t), ottenuto sommando ad un processo X(t),
a media MX e varianza VX, un rumore N(t) a media 0 e varianza VN. Il processo Y (t)
ha media MY = MX e, se X(t) e N(t) sono scorrelati, ha varianza VY = VX + VN.
Infatti:
MY = E[X(t) + N(t)]
= E[X(t)] + E[N(t)]
= MX,
VY = E[(Y (t) − MY ) 2 ] = E[(X(t) + N(t) − MX) 2 ]
= E[(X(t) − MX) 2 ] + 2E[N(t)(X(t) − MX)] + E[N 2 (t)]
= VX + 2E[N(t)]E[X(t) − MX] + VN
= VX + VN.
9.2 Processi Stocastici Stazionari
Un’importante classe di processi stocastici è quella dei processi stazionari. Informalmente,
diremo che un processo stocastico X(t) è stazionario se tutti i suoi parametri statistici
sono tempo-invarianti. Ciò significa che per ogni n e τ:
Pr {X(t1) ≤ x1, . . . , X(tn) ≤ xn} = Pr {X(t1 + τ) ≤ x1, . . . , X(tn + τ) ≤ xn} .
Questo implica che tutte le statistiche, tra cui media, varianza e autocorrelazione, sono
tempo-invarianti. Noi utilizzeremo una nozione di stazionarietà meno restrittiva.