Elaborazione Numerica dei Segnali

9.1. Processi Stocastici 195
Esempio 9.1.1
X(r, t) = r cos ω0t, con r uniformemente distribuito nell’intervallo [0, 1], è un semplice
esempio di processo stocastico a tempo continuo. Tutte le realizzazioni sono
cosinusoidi di fissata frequenza ω0; le realizzazioni differiscono per l’ampiezza r.
È opportuno osservare che un processo stocastico può essere visto in due modi diversi:
• Fissata la realizzazione r, X(r, t) può essere visto come un segnale deterministico;
talvolta denoteremo con x(t) il segnale (deterministico) corrispondente ad una data
realizzazione.
Per ogni realizzazione r, si può definire la sua media temporale, che denoteremo con
A[X(r, t)] oppure con mx(r):
mx(r) = lim
T →∞
1
2T
T
−T
X(r, t)dt.
Si osservi che la media temporale è una variabile aleatoria.
• Fissato il tempo t, X(r, t) può essere visto come variabile aleatoria; come notazione,
denoteremo con X(t) tale variabile aleatoria.
Per ogni t, chiameremo media di fase o valor medio l’aspettazione E[X(t)] della
variabile aleatoria X(t). Si osservi che la media di fase è una funzione MX(t) di t.
Richiamando la definizione di aspettazione, se le realizzazioni sono finite o discrete
e p(r) è la probabilità della realizzazione r, allora:
E[X(t)] =
X(r, t)p(r).
r
Se le realizzazioni sono su un insieme continuo e fX(x, t)dx è la probabilità dP (x, t) =
P r{r : x ≤ X(r, t) < x + dx}, allora:
E[X(t)] =
+∞
−∞
xfX(x, t)dx.
Un processo stocastico è completamente caratterizzato dalle variabili aleatorie X(t), e
quindi dalle distribuzioni di probabilità fX(x, t) per i vari valori di t; in gran parte delle applicazioni
tuttavia si è interessati a stimare solo alcune caratteristiche di tali distribuzioni.
In particolare, i parametri nostro interesse sono proposti nella seguente:
Definizione 9.2 Dato un processo X(t), il valor medio MX(t), la varianza VX(t) e la
funzione di autocorrelazione RXX(t, q) sono definiti rispettivamente da:
MX(t) = E[X(t)],
VX(t) = E[(X(t) − MX(t)) 2 ],
RXX(t, t ′ ) = E[X(t)X(t ′ )].