Elaborazione Numerica dei Segnali

194 Processi Stocastici e loro Caratteristiche Spettrali
funzione di autocorrelazione sono applicate alla progettazione di algoritmi per la stima di
ritardo temporale.
Il terzo paragrafo introduce la nozione di sistema ergodico; viene in particolare segnalato
come una stima della media e della funzione di autocorrelazione possa essere ottenuta
mediante la media e l’autocorrelazione temporale.
L’ultimo paragrafo presenta alcuni elementi di analisi in frequenza di processi stocastici
stazionari. Si introduce lo spettro di potenza di un segnale casuale, che descrive il
contributo delle varie frequenze alla potenza media complessiva; si mostra infine come esso
risulti la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione del segnale casuale.
9.1 Processi Stocastici
Se proviamo a pronunciare varie volte una parola, per esempio “arpa”, si può osservare
che i segnali ottenuti per veicolare la parola sono in generale diversi; ogni possibile segnale
ottenuto dalla ripetizione di questo esperimento verrà chiamato realizzazione della parola.
Non possiamo dunque modellare il segnale corrispondente ad “arpa” attraverso un segnale
deterministico, in quanto diverse realizzazioni della parola portano a diversi segnali:
possiamo solo in linea di principio elencare tutte le possibili realizzazioni, che indiceremo
con una variabile r. Denoteremo con f(r, t) il segnale deterministico corrispondente alla
realizzazione r.
Una modellazione più precisa può essere ottenuta associando ulteriormente all’insieme
delle realizzazioni una misura di probabilità. Questa può essere introdotta come segue:
• Se l’insieme delle realizzazioni {r1, . . . , rm} è finito, si associa ad ogni realizzazione
ri la sua probabilità p(ri):
p(ri) = Pr {ri} .
Vale che 0 ≤ p(ri) ≤ 1 e m
i=1 p(ri) = 1.
• Se l’insieme delle realizzazioni è infinito, si può considerare la probabilità dP (x, t)
che un segnale preso a caso abbia al tempo t un valore compreso tra x e x + dx:
Vale che +∞
−∞ dP (x, t) = 1.
dP (x, t) = Pr {r : x ≤ f(r, t) ≤ x + dx} .
Questo porta alla nozione di processo stocastico.
Definizione 9.1 Un processo stocastico X(r, t) è una famiglia di variabili aleatorie indicizzate
con un parametro t (tempo). Se t ∈ R il processo è detto a tempo continuo,
se t ∈ Z è detto a tempo discreto; r individua una particolare realizzazione del processo
stocastico.
Per questioni di semplicità notazionale, spesso denoteremo il processo stocastico direttamente
con X(t), sottintendendo la variabile che individua la particolare realizzazione.