Elaborazione Numerica dei Segnali

14 Segnali e Sistemi
Esempio 1.3.10
Fissata una famiglia di funzioni M(t, x), con x ∈ R, il sistema
S(f) =
∞
−∞
M(t, x)f(x)dx
è un sistema lineare, come si può verificare direttamente.
Esempio 1.3.11
La modulazione di fase MF di un segnale f(t) è descritta dal sistema
MF(f(t)) = ρ cos(ωt + f(t)).
Poichè in generale cos(ωt + (f + g)) = cos(ωt + f) + cos(ωt + g), MF non è un sistema
lineare.
Una nozione importante relativa agli spazi lineari è quella di “base”: una base è un
insieme di vettori {a1, . . . , an} tale che ogni altro vettore x può essere ottenuto come
combinazione lineare x =
i αiai di elementi della base, e contemporaneamente nessun
elemento della base può essere ottenuto come combinazione lineare dei rimanenti.
Un sistema lineare S è univocamente definito conoscendo le risposte del sistema sugli
elementi di una base. Infatti, per ogni ingresso x, x è ottenuto come combinazione lineare
x =
i αiai e vale:
S(x) = S
i
αiai
=
αiS(ai).
Conoscendo quindi S(ai) per ogni i, riusciamo a conoscere S(x) per tutti i segnali x dello
spazio.
Queste considerazioni, introdotte per spazi a base finita, possono essere estese (con
qualche precauzione) a spazi più generali. Il seguente importante esempio introduce una
“base” indiciata su un continuo, per segnali a tempo continuo e una base numerabile per
segnali a tempo discreto.
Esempio 1.3.12
Introduciamo la funzione impulso (o delta di Dirac) δ(t). Essa non è una funzione nel
senso di Dirichelet, e sarà chiamata funzione generalizzata. Intuitivamente può essere
pensata come limite (per ∆ → 0) di una sequenza di funzioni non negative p∆(t), dove
p∆(t) è nulla al di fuori dell’intervallo [−∆/2, ∆/2] e tale che ∞
−∞ p∆(x)dx = 1. Un
esempio è mostrato in Figura 1.16: qui la funzione impulso è definita come il limite di
un impulso rettangolare,
δ(t) = lim p∆(t).
∆→0
i