Elaborazione Numerica dei Segnali

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190 Filtri Digitali a Risposta Finita all’Impulso (FIR) e Infinita (IIR) fine . La precisione a 2n bit viene mantenuta durante l’esecuzione della Subroutine, che agisce sui registri ACC e P di 2n bit, e solo alla fine il risultato viene troncato per essere memorizzato in n bit. L’errore di troncamento è allora limitato al bit meno significativo del numero memorizzato: il rapporto segnale-rumore di troncamento si mantiene quindi intorno agli n dB. Analizziamo ora più in dettaglio l’effetto prodotto su un filtro digitale dall’errore di quantizzazione dei coefficienti. Abbiamo visto che un filtro è caratterizzato dai poli e dagli zeri della sua funzione di trasferimento H(z −1 ): la modifica dei coefficienti che specificano il filtro, causata dall’errore di quantizzazione, provoca a sua volta un cambiamento nella posizione dei poli e degli zeri, che sono responsabili del comportamento del filtro. La situazione è particolarmente delicata per i filtri IIR: i poli di un filtro IIR, correttamente progettato, possono eventualmente spostarsi al di fuori del cerchio unitario, a causa dell’errore di quantizzazione dei coefficienti, rendendo il filtro instabile. Studiamo ora in maniera quantitativa questo fenomeno, valutando la sensitività dei poli rispetto al cambiamento dei coefficienti. A questo riguardo, sia D(z −1 ) il denominatore della funzione di trasferimento razionale H(z −1 ) di un filtro IIR: esprimendo D(z −1 ) in forma di polinomio e in forma fattorizzata, si ha: D(z −1 M ) = 1 − akz −k M = (1 − zkz −1 ), k=1 dove a1, . . . , aM individuano i coefficienti del polinomio e z1, . . . , zM ne sono gli zeri, individuando di conseguenza i poli di H(z −1 ). Supponiamo ora che la quantizzazione dei coefficienti a1, . . . , aM porti ad un nuovo filtro, caratterizzato da nuovi coefficienti â1, . . . , âM tali che: âk = ak + ∆ak k=1 (1 ≤ k ≤ M), dove ∆ak è l’errore di quantizzazione. Il nuovo polinomio avrà nuovi zeri ˆz1, . . . , ˆzM , che risulteranno i poli della funzione di trasferimento del nuovo filtro. Posto ∆zk = ˆzk − zk, ∆zk può essere interpretato come errore di localizzazione del polo zk; si può facilmente derivare la relazione: ∆zk ≈ M j=1 z M−j k ∆aj , (1 ≤ k ≤ M). (zk − zj) j=k Questa formula esprime la sensitività dei poli rispetto agli errori di quantizzazione ∆a1, . . . , ∆aM.
8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 191 Osservando che l’errore di localizzazione ∆zk del polo zk è tanto più elevato quanto più j=k (zk − zj) è vicino a 0, concludiamo: • a parità di ordine M, i filtri i cui poli si raggruppano in poche classi di piccole dimensioni sono i più sensibili agli errori di quantizzazione dei coefficienti; • filtri stabili di ordine M contengono M poli nel cerchio unitario: “grandi” valori di M forzeranno alcuni poli ad essere necessariamente “vicini”. I filtri di ordine elevato risulteranno allora generalmente più sensibili all’errore di quantizzazione dei coefficienti che non i filtri di ordine basso; • le reti in forma di cascata o in parallelo realizzano separatamente ogni coppia di poli complessi coniugati. Questo è il motivo per cui le forme in cascata o parallelo sono meno sensibili all’errore di quantizzazione dei coefficienti che non le forme dirette.
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Università degli Studi di Milano -
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ii Indice 3.2.2 Filtri di Chebysche
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Capitolo 1 Segnali e Sistemi I conc
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Capitolo 2 Analisi in Frequenza di
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2.1. Numeri Complessi 23 y 0 θ r r
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2.2. Segnali Periodici 25 Esempio 2
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