Elaborazione Numerica dei Segnali

190 Filtri Digitali a Risposta Finita all’Impulso (FIR) e Infinita (IIR)
fine
.
La precisione a 2n bit viene mantenuta durante l’esecuzione della Subroutine, che
agisce sui registri ACC e P di 2n bit, e solo alla fine il risultato viene troncato per
essere memorizzato in n bit. L’errore di troncamento è allora limitato al bit meno
significativo del numero memorizzato: il rapporto segnale-rumore di troncamento si
mantiene quindi intorno agli n dB.
Analizziamo ora più in dettaglio l’effetto prodotto su un filtro digitale dall’errore di
quantizzazione dei coefficienti. Abbiamo visto che un filtro è caratterizzato dai poli e dagli
zeri della sua funzione di trasferimento H(z −1 ): la modifica dei coefficienti che specificano
il filtro, causata dall’errore di quantizzazione, provoca a sua volta un cambiamento nella
posizione dei poli e degli zeri, che sono responsabili del comportamento del filtro.
La situazione è particolarmente delicata per i filtri IIR: i poli di un filtro IIR, correttamente
progettato, possono eventualmente spostarsi al di fuori del cerchio unitario, a causa
dell’errore di quantizzazione dei coefficienti, rendendo il filtro instabile.
Studiamo ora in maniera quantitativa questo fenomeno, valutando la sensitività dei poli
rispetto al cambiamento dei coefficienti. A questo riguardo, sia D(z −1 ) il denominatore
della funzione di trasferimento razionale H(z −1 ) di un filtro IIR: esprimendo D(z −1 ) in
forma di polinomio e in forma fattorizzata, si ha:
D(z −1 M
) = 1 − akz −k M
= (1 − zkz −1 ),
k=1
dove a1, . . . , aM individuano i coefficienti del polinomio e z1, . . . , zM ne sono gli zeri,
individuando di conseguenza i poli di H(z −1 ).
Supponiamo ora che la quantizzazione dei coefficienti a1, . . . , aM porti ad un nuovo
filtro, caratterizzato da nuovi coefficienti â1, . . . , âM tali che:
âk = ak + ∆ak
k=1
(1 ≤ k ≤ M),
dove ∆ak è l’errore di quantizzazione. Il nuovo polinomio avrà nuovi zeri ˆz1, . . . , ˆzM , che
risulteranno i poli della funzione di trasferimento del nuovo filtro.
Posto ∆zk = ˆzk − zk, ∆zk può essere interpretato come errore di localizzazione del
polo zk; si può facilmente derivare la relazione:
∆zk ≈
M
j=1
z M−j
k ∆aj
, (1 ≤ k ≤ M).
(zk − zj)
j=k
Questa formula esprime la sensitività dei poli rispetto agli errori di quantizzazione
∆a1, . . . , ∆aM.