Elaborazione Numerica dei Segnali

8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 187
a
0
x(n) y(n)
a
1
a
M−2
a
M−1
z −1
z −1
z −1
z −1
Forma diretta I
b
1
b
M−2
b
M−1
Figura 8.28 Forme dirette I e II.
a
0
x(n) y(n)
a
1
a
M−2
a
M−1
z −1
z −1
Forma diretta II
Fatto 8.4 Un qualsiasi polinomio a coefficienti reali può essere decomposto come prodotto
di polinomi di primo e di secondo grado a coefficienti reali.
Dimostrazione. Sia p(z) = L−1
k=0 akz k un polinomio a variabile complessa con coefficienti
ak reali. Per il teorema fondamentale dell’algebra sappiamo che:
L−1
p(z) = A (z − zk),
k=0
dove z1, . . . , zL−1 sono soluzioni (non necessariamente reali) dell’equazione p(z) = 0 e A
una costante. Fissato zk, si hanno due casi:
1. zk è reale; allora z − zk è un polinomio di primo grado a coefficienti reali che appare
nella decomposizione;
2. zk è complesso; allora il coniugato z ∗ k di zk è a sua volta una soluzione dell’equazione
p(z) = 0 poiché
0 = p(zk) = p(zk) ∗ ⎛
L−1
= ⎝ ajz j
⎞
⎠
j=0
k
∗
L−1
=
j=0
b
1
b
M−2
b
M−1
a ∗ j(z ∗ k )j L−1
= aj(z ∗ k )j = p(z ∗ k ).
Allora (z − zk)(z − z ∗ k ) = z2 − 2 Re{zk} + |zk| 2 è un polinomio di secondo grado a
coefficienti reali che appare nella decomposizione.
j=0