Elaborazione Numerica dei Segnali

8.4. Realizzazione di Filtri Digitali 177
A questo riguardo, fissata la frequenza di campionamento 1
T
x(n) = f(nT ), y(n) = g(nT ).
Hz, poniamo:
Approssimando la derivata di una funzione A(t) col rapporto incrementale, si ha che:
d
dt A(t)
A(nT ) − A((n − 1)T )
≈ .
T
Possiamo allora sostituire d
dt
t=nT
g(t) con ∇y(n) = y(n)−y(n−1)
T
e dk
dt k g(t) con ∇ k y(n), dove
∇ 0 y(n) = y(n) e ∇ k y(n) = ∇(∇ k−1 y(n)) se k > 0. Sostituzioni analoghe possono essere
fatte per dk
dt k f(t).
Il sistema digitale corrispondente a quello analogico viene allora descritto dalla seguente
equazione:
M−1
ck∇ k L−1
y(n) = dk∇ k x(n)
Esempio 8.3.4
k=0
k=0
Si consideri il sistema analogico descritto dall’equazione differenziale:
g(t) = ag ′ (t) + bg ′′ (t) + f(t).
Posto x(n) = f(nT ) e y(n) = g(nT ), risulta:
y(n) − y(n − 1)
∇y(n) =
T
∇ 2 y(n) − y(n − 1)
y(n) = ∇(∇y(n)) = ∇ =
T
∇y(n) − ∇y(n − 1)
= y(n) − 2y(n − 1) + y(n − 2)
T 2
.
T
Da cui si ricava il seguente sistema digitale:
T
y(n) =
2
T 2
T − 2b
− aT − b T 2 y(n − 1) + b
y(n − 2) + x(n) .
T 2
8.4 Realizzazione di Filtri Digitali
In un filtro FIR il valore y(n) dell’uscita al tempo n è dato da:
y(n) =
M−1
k=0
bkx(n − k).