Elaborazione Numerica dei Segnali

8.3. Progetto di Filtri Digitali 173
1+a
1
1
2
-a
H ( ω)
N
Figura 8.13 Grafico della funzione HN(e iω ), ottenuta dalla convoluzione di Hd(e iω ) e
G∆,a(ω).
1−2∆
8.3.3 Progetto di Filtri FIR col Metodo Ottimo
Come abbiamo visto, il metodo della finestra crea filtri con un “picco” nelle oscillazioni in
corrispondenza della frequenza di taglio e frequenza di stop, come evidenziato nella Figura
8.14.
Risulta naturale tentare di abbassare l’altezza massima delle oscillazioni “spalmandole”
su tutta la banda passante e proibita: questa è l’idea che sta alla base della costruzione
del filtro ottimo, nel senso di Chebishev.
Il metodo considera al solito la risposta all’impulso hd(n) del filtro che si desidera
approssimare e che ha una ideale risposta in frequenza Hd(e iω ); fissato N, si prende in
considerazione l’insieme FN tutti i filtri FIR h di ordine N, cioè con risposta all’impulso
descrivibile da N valori h = (h(0), . . . , h(N − 1)). Se H(e iω ) la risposta in frequenza del
generico filtro h, si definisce come errore di approssimazione di hd con h, la quantità
1
1−∆
1+∆
e(h, hd) = max
ω |Hd(e iω ) − Hh(e iω )|Ψ(ω),
dove Ψ(ω) è una opportuna funzione peso che consente di trattare il caso in cui i vincoli
imposti alle oscillazioni in banda passante e proibita siano diversi.
Il filtro ottimo ˆ h è il filtro di FN che minimizza l’errore:
ˆh = arg min e(h, hd).
h∈FN
Si può dimostrare che il filtro ottimo è caratterizzato da “equioscillazioni” in banda
passante e banda proibita, come mostrato nella Figura 8.15
1+2∆
ω